Следствия из теоремы
1. Если геометрическая сумма моментов, приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей относительно некоторого неподвижного центра, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.
Если ΣMО( ) + ΣMО( ) = 0, то dLО/dt = 0 и, следовательно, LО = const.
2. Если алгебраическая сумма моментов, приложенных к механической системе активных сил и реакций внешних связей относительно некоторой оси, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси остается постоянным.
Действительно, например, если ΣMOX( ) + ΣMOX( ) = 0, то dLOX/dt = 0 и, отсюда следует, что LOX = const.
Следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.
5.3.5. Варианты курсового задания Д 3
«Применение теоремы об изменении
кинетического момента к определению угловой
скорости твёрдого тела»
В исходном положении тело Н (тело 1) массой m1 вращается вокруг вертикальной оси O1Z1 с постоянной угловой скоростью ; при этом в точке О жёлоба АВ тела 1 на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К массой m2. В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с алгебраическим моментом MOZ = MOZ(t). В момент времени t = τ действие пары сил прекращается.
Определить значение угловой скорости тела 1 в момент времени t = τ ( (τ) = ?).
Тело 1 вращается по инерции с угловой скоростью .
В некоторый момент времени t1 = 0 (t1 – новое начало отсчёта времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от точки А к точке В) по закону ОК = S = S(t1).
Определить значение угловой скорости тела 1 в момент времени t1 = T ( (Т) = ?).
Тело 1 рассматривать как однородную пластинку. Расчётные схемы механизмов и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
Номер варианта | Расчётная схема механизма | Исходные данные |
m1 = 32 кг; m2 = 10 кг; = – 1 рад/с; b = 1, м; с = 1, 5 м; R = 1, 2 м; АО = π·R/6 м; MOZ = – 29,6·t2 Н·м; τ = 3 с; ОК = (5·π·R/12)·t1 м; Т = 1 с | ||
m1 = 200 кг; m2 = 60 кг; = – 2 рад/с; R = 2 м; α = 120о; АО = 0,866 м; MOZ = 101 Н·м; τ = 5 с; ОК = 1,732·(t1)2 м; Т = 1 с | ||
m1 = 120 кг; m2 = 40 кг; = 0 рад/с; b = 2 м; АО = 0 м; MOZ = 120·t Н·м; τ = 4 с; ОК=(1,414/4)·(t1)2 м; Т = 2 с |
Продолжение табл. 5.1
m1 = 16 кг; m2 = 5 кг; = – 3 рад/с; R = 1 м; α = 30о; АО = 0,4 м; MOZ = 21·t Н·м; τ = 2 с; ОК=0,6·t1 м; Т = 2 с | ||
m1 = 66 кг; m2 = 10 кг; = 1,5 рад/с; b = 2 м; c = 1,5 м; АО = 0 м; MOZ = 15· Н·м; τ = 4 с; ОК=0,5·t1 м; Т = 2,5 с | ||
m1 = 160 кг; m2 = 80 кг; = – 1,25 рад/с; b = 1,5 м; R = 2,5 м; α = 30о; АО = π·b/6 м; MOZ = – 700·t Н·м; τ = 3 с; ОК=(6·π·b/18)·(t1)2 м; Т = 1 с |
Продолжение табл. 5.1
m1 = 300 кг; m2 = 50 кг; = – 2 рад/с; b = 1,6 м; c = 1 м; R = 0,8 м; АО = 0 м; MOZ = 968 Н·м; τ = 1 с; ОК=(π·R/2)·(t1)2 м; Т = 1 с | ||
m1 = 80 кг; m2 = 20 кг; = 0 рад/с; b = 1,2 м; R = 2 м; АО = π·b/2 м; MOZ = 240· Н·м; τ = 4 с; ОК = (π·b/4)·t1 м; Т = 2 с | ||
m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; = 5 рад/с; b = 1,2 м; R = 0,4 м; α = 45о; АО = π·R/4 м; MOZ = – 29,2·t Н·м; τ = 3 с; ОК=(3·π·R/4)·(t1)2 м; Т = 1 с |
Продолжение табл. 5.1
m1 = 100 кг; m2 = 40 кг; = 2 рад/с; b = 2 м; с = 1,414 м; АО =0,707 м; MOZ = – 90· Н·м; τ = 4 с; ОК=(0,707/2)·(t1)2 м; Т = 1 с | ||
m1 = 60 кг; m2 = 20 кг; = – 1 рад/с; b = 2 м; R = 2 м; АО = 0 м; MOZ = 40·t Н·м; τ = 2 с; ОК = 0,4·(t1)2 м; Т = 2 с | ||
m1 = 40 кг; m2 = 10 кг; = – 3 рад/с; b = 1 м; R = 2 м; АО = 0 м; MOZ = 50·t2 Н·м; τ = 3 с; ОК = (π·b/3)·(t1)2 м; Т = 2 с |
Продолжение табл..5.1
m1 = 24 кг; m2 = 4 кг; = 4 рад/с; b = 1 м; АО = 0,5 м; MOZ = – 27· Н·м; τ = 1 с; ОК = 0,3·t1 м; Т = 2 с | ||
m1 = 40 кг; m2 = 10 кг; = 2 рад/с; R = 1 м; АО = 0 м; MOZ = 120·t Н·м; τ = 1 с; ОК = 0,5·t1 м; Т = 3 с | ||
m1 = 120 кг; m2 = 50 кг; = – 4 рад/с; b = 1 м; R = 2 м; АО = 0 м; MOZ = 330·t2 Н·м; τ = 2 с; ОК = (π·b/2)·(t1)2 м; Т = 1 с |
Продолжение табл. 5.1
m1 = 60 кг; m2 = 10 кг; = – 5 рад/с; b = 1 м; c = 1,2 м; α = 30о; АО = 0,4 м; MOZ = 74 Н·м; τ = 2 с; ОК = 0,3·(t1)2 м; Т = 2 с | ||
m1 = 50 кг; m2 = 10 кг; = – 2 рад/с; R = 1,6 м; α = 30о; АО = 0,6 м; MOZ = 69·t Н·м; τ = 4 с; ОК = 0,6·t1 м; Т = 2 с | ||
m1 = 120 кг; m2 = 50 кг; = 3 рад/с; b = 2 м; c = 3 м; R = 0,8 м; АО = π·R/2 м; MOZ = 324 Н·м; τ = 3 с; ОК = (π·R/8)·(t1)2 м; Т = 2 с |
Продолжение табл. 5.1
m1 = 90 кг; m2 = 30 кг; = 1 рад/с; b = 1,5 м; АО = 0 м; MOZ = – 135·t Н·м; τ = 2 с; ОК= (π·b/4)·(t1)2 м; Т = 1 с | ||
m1 = 50 кг; m2 = 12 кг; = 3 рад/с; b = 1 м; R = 1,2 м; АО = π·b/6 м; MOZ = –14·t2 Н·м; τ = 3 с; ОК = (π·b/12)·(t1)2 м; Т = 2 с | ||
m1 = 40 кг; m2 = 10 кг; = – 6 рад/с; R = 1 м; АО = 0,707 м; MOZ = 75· Н·м; τ = 1 с; ОК = (1,41/16)·(t1)2 м; Т = 2 с |
Продолжение табл..5.1
m1 = 150 кг; m2 = 50 кг; = – 1 рад/с; b = 1,6 м; с = 1,2 м; R = 0,6 м; АО = π·R/2 м; MOZ = 163 Н·м; τ = 4 с; ОК = (π·R/2)·(t1)2 м; Т = 1 с | ||
m1 = 90 кг; m2 = 20 кг; = 2 рад/с; b = 1,414 м; с = 1 м; АО = 0,866 м; MOZ = – 210 Н·м; τ = 2 с; ОК = 0,866·t1 м; Т = 1 с | ||
m1 = 50 кг; m2 = 12 кг; = – 3 рад/с; b = 0,6 м; α = 60о; АО = 0,2 м; MOZ = 27·t2 Н·м; τ = 2 с; ОК = 0,4·t1 м; Т = 2 с |
Продолжение табл. 5.1
m1 = 36 кг; m2 = 8 кг; = – 5 рад/с; R = 0,5 м; АО = 0 м; MOZ = 20·t Н·м; τ = 2 с; ОК = (π·R/6)·(t1)2 м; Т = 2 с | ||
m1 = 150 кг; m2 = 40 кг; = – 4 рад/с; b = 1,5 м; R = 2 м; АО = π·b/6 м; MOZ = 1170· Н·м; τ = 1 с; ОК = (π·b/2)·(t1)2 м; Т = 1 с | ||
m1 = 120 кг; m2 = 30 кг; = 0 рад/с; b = 1 м; α = 600; АО = 0 м; MOZ = – 25·t Н·м; τ = 2 с; ОК= (t1)2 м; Т = 1 с |
Окончание табл. 5.1
m1 = 15 кг; m2 = 4 кг; = – 2 рад/с; b = 0,6 м; АО = 0,1 м; MOZ = 5,6·t Н·м; τ = 3 с; ОК = 0,4·t1 м; Т = 1 с | ||
m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; = 5 рад/с; b = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; MOZ = – 6,3· Н·м; τ = 4 с; ОК = (5·π·R/6)·t1 м; Т = 1 с | ||
m1 = 150 кг; m2 = 50 кг; = 0 рад/с; b = 1,6 м; с = 1,2 м; АО = 1,6 м; MOZ = 652·t Н·м; τ = 2 с; ОК = 0,2·(t1)2 м; Т = 2 с |
ПРИМЕЧАНИЕ. Знак минус перед MOZ и соответствует направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси OZ.
5.3.6. Пример выполнения курсового задания Д 3
Условие задания.
Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси O1Z1 с постоянной угловой скоростью (рис. 5.12).
В точке О жёлоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К массой m2 (на рис. 5.12 точки О и К не показаны). В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом MOZ = MOZ(t). При t = τ действие пары сил прекращается.
Определить значение угловой скорости тела Н в момент времени t = τ ( (τ) = ?).
Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью (τ).
В некоторый момент времени (t1 = 0, где t1 – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от точки А к точке В) по закону ОК = S = S(t1).
Определить значение угловой скорости тела Н в момент времени t1 = T ( (T) = ?).
Тело Н рассматривать как однородную пластинку.
Дано: m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; = 5 рад/с = const; b = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; MOZ = – 6,3· Н·м; τ = 4 с; OK = S(t1) = (5·π·R/6)·t1 м; Т = 1с.
Решение.
К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением
dLO1Z1/dt = ΣMO1Z1( ) + ΣMO1Z1( ),
где LO1Z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣMO1Z1( ), ΣMO1Z1( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.
Решение задачи разобьём на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении; на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на третьем этапе – движение механической системы в момент времени Т.
Первый этап.
В исходном положении тело Н (тело 1 массой m1), на котором неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено тело 2 (самоходный механизм массой m2), вращается с постоянной угловой скоростью (см. рис. 5.12).
Введём неподвижную (инерциальную) систему отсчёта O1X1Y1Z1, совместив ось O1Z1 с осью вращения тела 1. Покажем на рис. 5.13 направление вращения тела 1 с произвольной угловой скоростью .
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 1193;