Следствия из теоремы
1. Если геометрическая сумма моментов, приложенных к системе активных сил и реакций внешних связей относительно некоторого неподвижного центра, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы относительно этого центра остается постоянным.
Если ΣMО( 
) + ΣMО( 
) = 0, то dLО/dt = 0 и, следовательно, LО = const.
2. Если алгебраическая сумма моментов, приложенных к механической системе активных сил и реакций внешних связей относительно некоторой оси, остается всё время равной нулю, то кинетический момент механической системы относительно этой же оси остается постоянным.
Действительно, например, если ΣMOX( ) + ΣMOX( ) = 0, то dLOX/dt = 0 и, отсюда следует, что LOX = const.
Следствия из теоремы об изменении кинетического момента механической системы выражают закон сохранения кинетического момента механической системы.
5.3.5. Варианты курсового задания Д 3
«Применение теоремы об изменении
кинетического момента к определению угловой
скорости твёрдого тела»
В исходном положении тело Н (тело 1) массой m1 вращается вокруг вертикальной оси O1Z1 с постоянной угловой скоростью 
; при этом в точке О жёлоба АВ тела 1 на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К массой m2. В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с алгебраическим моментом MOZ = MOZ(t). В момент времени t = τ действие пары сил прекращается.
Определить значение угловой скорости тела 1 в момент времени t = τ ( 
(τ) = ?).
Тело 1 вращается по инерции с угловой скоростью 
.
В некоторый момент времени t1 = 0 (t1 – новое начало отсчёта времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от точки А к точке В) по закону ОК = S = S(t1).
Определить значение угловой скорости тела 1 в момент времени t1 = T ( (Т) = ?).
Тело 1 рассматривать как однородную пластинку. Расчётные схемы механизмов и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.1.
Таблица 5.1
| Номер варианта | Расчётная схема механизма | Исходные данные |
|
m1 = 32 кг;
m2 = 10 кг;
 = – 1 рад/с;
b = 1, м;
с = 1, 5 м;
R = 1, 2 м;
АО = π·R/6 м;
MOZ = – 29,6·t2 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (5·π·R/12)·t1 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 200 кг;
m2 = 60 кг;
= – 2 рад/с;
R = 2 м;
α = 120о;
АО = 0,866 м;
MOZ = 101 Н·м;
τ = 5 с;
ОК = 1,732·(t1)2 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 120 кг;
m2 = 40 кг;
= 0 рад/с;
b = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 120·t Н·м;
τ = 4 с;
ОК=(1,414/4)·(t1)2 м;
Т = 2 с
|
Продолжение табл. 5.1
|
m1 = 16 кг;
m2 = 5 кг;
= – 3 рад/с;
R = 1 м;
α = 30о;
АО = 0,4 м;
MOZ = 21·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК=0,6·t1 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 66 кг;
m2 = 10 кг;
= 1,5 рад/с;
b = 2 м;
c = 1,5 м;
АО = 0 м;
MOZ = 15·  Н·м;
τ = 4 с;
ОК=0,5·t1 м;
Т = 2,5 с
| |
|
m1 = 160 кг;
m2 = 80 кг;
= – 1,25 рад/с;
b = 1,5 м;
R = 2,5 м;
α = 30о;
АО = π·b/6 м;
MOZ = – 700·t Н·м;
τ = 3 с;
ОК=(6·π·b/18)·(t1)2 м;
Т = 1 с
|
Продолжение табл. 5.1
|
m1 = 300 кг;
m2 = 50 кг;
= – 2 рад/с;
b = 1,6 м;
c = 1 м;
R = 0,8 м;
АО = 0 м;
MOZ = 968 Н·м;
τ = 1 с;
ОК=(π·R/2)·(t1)2 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 80 кг;
m2 = 20 кг;
= 0 рад/с;
b = 1,2 м;
R = 2 м;
АО = π·b/2 м;
MOZ = 240· Н·м;
τ = 4 с;
ОК = (π·b/4)·t1 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 20 кг;
m2 = 5 кг;
= 5 рад/с;
b = 1,2 м;
R = 0,4 м;
α = 45о;
АО = π·R/4 м;
MOZ = – 29,2·t Н·м;
τ = 3 с;
ОК=(3·π·R/4)·(t1)2 м;
Т = 1 с
|
Продолжение табл. 5.1
|
m1 = 100 кг;
m2 = 40 кг;
= 2 рад/с;
b = 2 м;
с = 1,414 м;
АО =0,707 м;
MOZ = – 90· Н·м;
τ = 4 с;
ОК=(0,707/2)·(t1)2 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 60 кг;
m2 = 20 кг;
= – 1 рад/с;
b = 2 м;
R = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 40·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,4·(t1)2 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 40 кг;
m2 = 10 кг;
= – 3 рад/с;
b = 1 м;
R = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 50·t2 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (π·b/3)·(t1)2 м;
Т = 2 с
|
Продолжение табл..5.1
|
m1 = 24 кг;
m2 = 4 кг;
= 4 рад/с;
b = 1 м;
АО = 0,5 м;
MOZ = – 27· Н·м;
τ = 1 с;
ОК = 0,3·t1 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 40 кг;
m2 = 10 кг;
= 2 рад/с;
R = 1 м;
АО = 0 м;
MOZ = 120·t Н·м;
τ = 1 с;
ОК = 0,5·t1 м;
Т = 3 с
| |
|
m1 = 120 кг;
m2 = 50 кг;
= – 4 рад/с;
b = 1 м;
R = 2 м;
АО = 0 м;
MOZ = 330·t2 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = (π·b/2)·(t1)2 м;
Т = 1 с
|
Продолжение табл. 5.1
|
m1 = 60 кг;
m2 = 10 кг;
= – 5 рад/с;
b = 1 м;
c = 1,2 м;
α = 30о;
АО = 0,4 м;
MOZ = 74 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,3·(t1)2 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 50 кг;
m2 = 10 кг;
= – 2 рад/с;
R = 1,6 м;
α = 30о;
АО = 0,6 м;
MOZ = 69·t Н·м;
τ = 4 с;
ОК = 0,6·t1 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 120 кг;
m2 = 50 кг;
= 3 рад/с;
b = 2 м;
c = 3 м;
R = 0,8 м;
АО = π·R/2 м;
MOZ = 324 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (π·R/8)·(t1)2 м;
Т = 2 с
|
Продолжение табл. 5.1
|
m1 = 90 кг;
m2 = 30 кг;
= 1 рад/с;
b = 1,5 м;
АО = 0 м;
MOZ = – 135·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК= (π·b/4)·(t1)2 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 50 кг;
m2 = 12 кг;
= 3 рад/с;
b = 1 м;
R = 1,2 м;
АО = π·b/6 м;
MOZ = –14·t2 Н·м;
τ = 3 с;
ОК = (π·b/12)·(t1)2 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 40 кг;
m2 = 10 кг;
= – 6 рад/с;
R = 1 м;
АО = 0,707 м;
MOZ = 75· Н·м;
τ = 1 с;
ОК = (1,41/16)·(t1)2 м;
Т = 2 с
|
Продолжение табл..5.1
|
m1 = 150 кг;
m2 = 50 кг;
= – 1 рад/с;
b = 1,6 м;
с = 1,2 м;
R = 0,6 м;
АО = π·R/2 м;
MOZ = 163 Н·м;
τ = 4 с;
ОК = (π·R/2)·(t1)2 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 90 кг;
m2 = 20 кг;
= 2 рад/с;
b = 1,414 м;
с = 1 м;
АО = 0,866 м;
MOZ = – 210 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,866·t1 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 50 кг;
m2 = 12 кг;
= – 3 рад/с;
b = 0,6 м;
α = 60о;
АО = 0,2 м;
MOZ = 27·t2 Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,4·t1 м;
Т = 2 с
|
Продолжение табл. 5.1
|
m1 = 36 кг;
m2 = 8 кг;
= – 5 рад/с;
R = 0,5 м;
АО = 0 м;
MOZ = 20·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК = (π·R/6)·(t1)2 м;
Т = 2 с
| |
|
m1 = 150 кг;
m2 = 40 кг;
= – 4 рад/с;
b = 1,5 м;
R = 2 м;
АО = π·b/6 м;
MOZ = 1170· Н·м;
τ = 1 с;
ОК = (π·b/2)·(t1)2 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 120 кг;
m2 = 30 кг;
= 0 рад/с;
b = 1 м;
α = 600;
АО = 0 м;
MOZ = – 25·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК= (t1)2 м;
Т = 1 с
|
Окончание табл. 5.1
|
m1 = 15 кг;
m2 = 4 кг;
= – 2 рад/с;
b = 0,6 м;
АО = 0,1 м;
MOZ = 5,6·t Н·м;
τ = 3 с;
ОК = 0,4·t1 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 20 кг;
m2 = 5 кг;
= 5 рад/с;
b = 0,6 м;
R = 0,6 м;
АО = 0 м;
MOZ = – 6,3· Н·м;
τ = 4 с;
ОК = (5·π·R/6)·t1 м;
Т = 1 с
| |
|
m1 = 150 кг;
m2 = 50 кг;
= 0 рад/с;
b = 1,6 м;
с = 1,2 м;
АО = 1,6 м;
MOZ = 652·t Н·м;
τ = 2 с;
ОК = 0,2·(t1)2 м;
Т = 2 с
|
ПРИМЕЧАНИЕ. Знак минус перед MOZ и соответствует направлению вращения часовой стрелки, если смотреть со стороны положительного направления оси OZ.
5.3.6. Пример выполнения курсового задания Д 3
Условие задания.
Тело Н массой m1 вращается вокруг вертикальной оси O1Z1 с постоянной угловой скоростью (рис. 5.12).
В точке О жёлоба АВ тела Н на расстоянии АО от точки А, отсчитываемом вдоль жёлоба, находится материальная точка К массой m2 (на рис. 5.12 точки О и К не показаны). В некоторый момент времени (t0 = 0) на систему начинает действовать пара сил с моментом MOZ = MOZ(t). При t = τ действие пары сил прекращается.
Определить значение угловой скорости тела Н в момент времени t = τ ( (τ) = ?).
Тело Н вращается по инерции с угловой скоростью (τ).
В некоторый момент времени (t1 = 0, где t1 – новое начало отсчета времени) точка К (самоходный механизм) начинает относительное движение из точки О вдоль жёлоба АВ (в направлении от точки А к точке В) по закону ОК = S = S(t1).
Определить значение угловой скорости тела Н в момент времени t1 = T ( (T) = ?).
Тело Н рассматривать как однородную пластинку.
Дано: m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; = 5 рад/с = const; b = 0,6 м; R = 0,6 м; АО = 0 м; MOZ = – 6,3· 
Н·м; τ = 4 с; OK = S(t1) = (5·π·R/6)·t1 м; Т = 1с.
Решение.
К решению задачи применим теорему об изменении кинетического момента механической системы, выраженную уравнением
dLO1Z1/dt = ΣMO1Z1( ) + ΣMO1Z1( ),
где LO1Z1 – кинетический момент механической системы относительно оси вращения; ΣMO1Z1( ), ΣMO1Z1( ) – соответственно суммы моментов активных сил и реакций внешних связей относительно оси вращения.
Решение задачи разобьём на три этапа. На первом этапе рассмотрим движение механической системы в исходном положении; на втором этапе – движение этой системы в момент времени τ; на третьем этапе – движение механической системы в момент времени Т.
Первый этап.
В исходном положении тело Н (тело 1 массой m1), на котором неподвижно (на расстоянии АО = 0 м) установлено тело 2 (самоходный механизм массой m2), вращается с постоянной угловой скоростью (см. рис. 5.12).
Введём неподвижную (инерциальную) систему отсчёта O1X1Y1Z1, совместив ось O1Z1 с осью вращения тела 1. Покажем на рис. 5.13 направление вращения тела 1 с произвольной угловой скоростью .
Дата добавления: 2015-05-30; просмотров: 1185;