Интегральные теоремы

Теоремы Остроградского-Гауса и Стокса применяют при переходе от уравнений поля, записанных в интегральной форме, к уравнениям поля в дифференциальной форме и наоборот.

Таблица 14.1

Векторная операция	Символическая запись с помощью оператора Ñ	Примечание
grad j	Ñj
div	Ñ
rot	Ñ´	jÑ + Ñj=j×div + ×grad j
div j	Ñ(Ñj)
div grad j	Ñ(Ñj) = Ñ2j
div rot	Ñ(Ñ´ ) = 0	Исток вихревого поля всегда отсутствует
rot grad j	Ñ´(Ñj) = 0	Векторное поле, имеющее градиент скалярной функции, всегда безвихревое, т.е. потенциальное
rot div	Ñ´(Ñ ) = 0	Векторное поле, имеющее дивергенцию векторной функции, всегда безвихревое
rot rot	Ñ´(Ñ´ )
rot j	Ñ´(j )

Теорема Остроградского-Гауса устанавливает соотношение между интегралом дивергенции вектора по объему V и поверхностным интегралом, взятым по замкнутой поверхности s, ограничивающей этот объем

. (14.20)

При этом поверхность должна быть кусочно-гладкой, а вектор на этой поверхности – непрерывным. Положительной является внешняя нормаль.

Теорема Стокса приравнивает поверхностный интеграл ротора вектора к линейному интегралу этого вектора, взятого по замкнутому контуру l, ограничивающему эту поверхность

. (14.21)

Вектор должен быть непрерывным по всему контуру интегрирования, а контур – кусочно-гладким.