Гомоморфизмы. Фактор-группа

Пусть G – группа с элементами a, b, c, … и – некоторое множество с элементами в котором введена операция: .

Def: Отображение f группы G на множество : называется гомоморфизмом, если выполнено соотношение f(a×b) = f(a)×f(b). При этом называется гомоморфным образом группы G.

Если , то гомоморфизм называется эндоморфизмом.

Если задано гомоморфное отображение G на , то все элементы группы G разбиваются на непересекающиеся классы; B классы объединяются все те элементы группы G, которые отображаются в один и тот же элемент множества .

Т°. Гомоморфный образ группы есть группа.

◀ Пусть элементы гомоморфного образа группы G при гомоморфизме f. Значит, такие, что Тогда операции в G и согласованны (по определению гомоморфизма) и осталось проверить свойства операции:

а) = f(a)((f(b)×f(c)) = f(a)f(bc) = f(a(bc)) = f((ab)c) = f(ab)×f(c) = (f(a)f(b))×f(c) =

(ассоциативность операции);

б) f(e) обозначим : = f(a)f(e) = f(ae) = f(a) = (т.к. f(e) = единичный элемент);

б) f(a^-1) обозначим : = f(a)f(a^–1) = f(a)f(a^–1) = f(e) = (т.е. обратный к ) ▶

Пусть H – нормальный делитель группы G. Определим отображение f группы G на множество смежных классов по нормальному делителю Н: f: aÎG, то a ↦aH: aHÎ .

Т°. Отображение f группы G на смежные классы по нормальному делителю Н, при

определении операции умножения классов смежности, как подмножеств группы

G, представляет собой гомоморфизм.

◀ Истинность этого факта следует из доказанной теоремы о том, что произведение смежных классов есть смежный класс ▶

Следствием двух последних теорем является:

Т°. Множество смежных классов группы G по нормальному делителю Н с

операцией умножения этих классов, определенной как произведение подмножеств группы G, образуют группу.

Эта группа называется фактор-группой группы G по нормальному делителю Н и обозначается: G/H.

Очевидно, отображение f группы G на множество смежных классов по нормальному делителю Н представляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группу G/H.

Пример: Пусть Rⁿ – n-мерное линейное пространство. Оно является абелевой группой по сложению. По определению прямого произведения . –абелева подгруппа, т.е. нормальный делитель группы Rⁿ. Смежным классом aÎRⁿ служат многообразие , фактор-группа Rⁿ/ изоморфна (n–1) – подпространству R^n–1: т.е. R^n–1 = Rⁿ/ . Кстати, именно этим и объясняется термин: нормальный делитель и обозначение G/H.