И механической системы

5.6.1. Принцип Даламбера для несвободной

материальной точки

Рассмотрим движение несвободной материальной точки под действием активных сил и реакций внешних связей в инерциальной системе отсчёта OXYZ (рис. 5.34).

Следует отметить, что на точку могут действовать несколько активных сил и реакций внешних связей. Однако на рис. 5.34 показаны только по одной из этих сил.

Основное уравнение динамики точки имеет вид

m·a = Σ + Σ .

Перенесём произведение m·a из левой части рассматриваемого уравнения в правую его часть:

Σ + Σ – m·a = 0.

Введём условное обозначение Ф = – m·a. Назовём Ф силой инерции материальной точки.

Сила инерции материальной точки – величина, равная произведению массы точки на её ускорение и направленная противоположно этому ускорению.

Как вектор сила инерции Ф имеет размерность [Н] и характеризуется тремя элементами: точкой приложения (приложена в точке, движение которой рассматривается); направлением (направлена в сторону, противоположную направлению ускорения a); модулем Ф, который определяется по формуле Ф = m·a.

Исходя из изложенного выше, последнее векторное равенство представим в следующем виде:

Σ + Σ + Ф = 0.

Это векторное уравнение и выражает принцип Даламбера для несвободной материальной точки.

В любой момент времени для движущейся несвободной материальной точки геометрическая сумма активных сил, реакций внешних связей и силы инерции равна нулю.

По существу, основное уравнение динамики точки (m·a = Σ + Σ ) преобразовано к другому виду (Σ + Σ + Ф = 0), который широко применяется в статике механических систем.

Поскольку силовой многоугольник, построенный на векторах активных сил , реакций внешних связей и силы инерции Ф замкнут, то суммы проекций этих сил на координатные оси системы отсчёта OXYZ равны нулю. Спроецируем векторное равенство (Σ + Σ + Ф = 0) на координатные оси инерциальной системы отсчёта и получим следующие равенства:

Σ + Σ + Ф_ОХ = 0;

Σ + Σ + Ф_OY = 0;

Σ + Σ + Ф_OZ = 0.

Сумма проекций активных сил, реакций внешних связей и силы инерции на координатные оси инерциальной системы отсчёта равна нулю.

Последние уравнения зачастую называют уравнениями динамического равновесия материальной точки, в отличие от уравнений (Σ + Σ = 0; Σ + Σ = 0; Σ + Σ = 0) статического равновесия.

В действительности сила инерции материальной точки приложена не к ней, а к телу, взаимодействующему с рассматриваемой точкой. Приложение силы инерции к точке является лишь условным приёмом, сводящим задачу динамики по форме решения к задаче статики.

Благодаря простоте, принцип Даламбера получил широкое применение во многих инженерных дисциплинах. В ряде случаев он обеспечивает наиболее простое и удобное решение задач динамики.

5.6.2. Принцип Даламбера для несвободной

механической системы

Рассмотрим движение материальной точки C_i несвободной неизменяемой механической системы под действием активной силы , реакции внешней связи и внутренней силы в инерциальной системе отсчёта OXYZ со скоростью V_Ci и ускорением a_Ci (рис. 5.35).

Применим принцип Даламбера для каждой точки C_i неизменяемой механической системы.

+ + + Ф_i = 0,

где Φ_i = – m·a_Ci – сила инерции материальной точки C_i механической системы.

Просуммируем составленные уравнения и получим выражение

Σ + Σ + Σ + ΣФ_i = 0.

Поскольку механическая система неизменяемая, то геометрическая сумма реакций внутренних связей равна нулю (Σ = 0). Тогда получим

Σ + Σ + ΣФ_i = 0.

В любой момент времени для неизменяемой механической системы геометрическая сумма активных сил, реакций внешних связей и сил инерции равна нулю.

Это и есть принцип Даламбера для неизменяемой механической системы.

Этот принцип зачастую записывают в следующем виде:

F^* + R^* + Φ^* = 0,

где F^* = Σ – главный вектор активных сил; R^* = Σ – главный вектор реакций внешних связей; Φ^* = ΣФ_i – главный вектор сил инерции.

В любой момент времени для неизменяемой механической системы геометрическая сумма главных векторов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции равна нулю.

Как правило, векторное равенство F^* + R^* + Φ^* = 0, выражающее принцип Даламбера, применяют при рассмотрении поступательного движения твёрдого тела.

Используя метод Пуансо для каждой материальной точки механической системы, приведём произвольно направленные в пространстве активные силы , реакции внешних связей и силы инерции Ф_i к центру масс механической системы (рис. 5.36).

Необходимо отметить, что метод Пуансо справедлив для любой произвольной точки, но, как правило, в инженерной практике за такую точку принимают центр масс твёрдого тела или механической системы.

Согласно методу Пуансо система активных сил , реакций внешних связей и сил инерции Ф_i эквивалентна системе сил (F^*, R^*, Φ^*) и системе присоединённых пар сил с векторными моментами , , (Ф_i), где = Σ – главный момент активных сил относительно центра масс; = Σ – главный момент реакций внешних связей относительно центра масс; (Ф_i) = Σ (Ф_i) – главный момент сил инерции относительно центра масс.

С использованием условных обозначений: F^*, R^*, Φ^*, , , (Ф_i) принцип Даламбера преобразуется в совокупность двух векторных выражений:

F^* + R^*+ Φ^*= 0;

+ + (Ф_i) = 0.

В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы геометрические суммы главных векторов и главных моментов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно произвольного центра (как правило, относительно центра масс) равны нулю.

Спроецируем последние векторные равенства на координатные оси системы отсчёта OXYZ и получим шесть уравнений, выражающих принцип Даламбера в скалярной форме:

+ + = 0;

+ + = 0;

+ + = 0;

= 0;

= 0;

= 0,

где , , – проекции главного вектора активных сил на координатные оси; , , – проекции главного вектора реакций внешних связей на координатные оси; , , – проекции главного вектора сил инерции на координатные оси; , , – проекции главного момента активных сил на координатные оси; , , – проекции главного момента реакций внешних связей на координатные оси; , , – проекции главного момента сил инерции на координатные оси.

В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы суммы проекций главных векторов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции, а также суммы проекций главных моментов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно произвольного центра на координатные оси инерциальной системы отсчёта равны нулю.

Как правило, в инженерной практике силы не приводят в одну точку и, следовательно, такими понятиями, как главные векторы сил и главные моменты сил относительно произвольной точки не пользуются, а применяют силы, приложенные в различных точках механической системы. В этом случае принцип Даламбера выражается следующими уравнениями:

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ + Σ + Σ = 0,

где Σ , Σ , Σ – суммы проекций активных сил на координатные оси; Σ , Σ , Σ – суммы проекций реакций внешних связей на координатные оси; Σ , Σ , Σ – суммы проекций сил инерции на координатные оси; Σ , Σ , Σ – суммы моментов активных сил относительно координатных осей; Σ , Σ , Σ – суммы моментов реакций внешних связей относительно координатных осей; Σ , Σ , Σ – суммы моментов сил инерции относительно координатных осей.

В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы суммы проекций активных сил, реакций внешних связей и сил инерции на координатные оси, а также суммы моментов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно координатных осей равны нулю.

Последние математические выражения применяются для механических систем, расположенных в трёхмерном пространстве. Для плоских систем используют двумерное пространство. В таком пространстве принцип Даламбера выражается следующими уравнениями:

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ + Σ + Σ = 0;

Σ ) + Σ + Σ = 0,

где Σ ), Σ , Σ – суммы моментов соответственно активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно произвольной точки А.

В любой момент времени для движущейся неизменяемой механической системы суммы проекций активных сил, реакций внешних связей и сил инерции на координатные оси, а также сумма моментов активных сил, реакций внешних связей и сил инерции относительно произвольной точки равны нулю.

В инженерной практике, как правило, принцип Даламбера применяют для определения реакций внешних связей, наложенных на механическую систему.

5.6.3. Приведение сил инерции точек твёрдого

тела к простейшему виду

В данном учебно-методическом пособии рассматриваются неизменяемые механические системы, в которые входят тела, осуществляющие следующие виды движений: поступательное, вращательное, плоскопараллельное.

При поступательном движении силы инерции материальных точек приводятся к главному вектору Ф^* сил инерции, который прикладывается в центре масс твёрдого тела (рис. 5.37) и определяется по формуле

Ф^* = – m·a_С.

Согласно рис. 5.37 главный вектор сил инерции Ф^* направлен в сторону, противоположную ускорению a_С. Модуль главного вектора сил инерции определяется по формуле Ф^* = m·a_С.

Рассмотрим вращательное движение твёрдого тела относительно оси ОХ, которая не проходит через его центр масс (рис. 5.38).

Согласно положениям кинематики имеем векторное равенство

a_С = + ,

где a_С – ускорение центра масс; – центростремительное ускорение центра масс; – вращательное ускорение центра масс.

В рассматриваемом случае силы инерции материальных точек тела приводятся к главному вектору Ф^* сил инерции и главному векторному моменту , определяемым по формулам:

Ф^* = Ф^ω + Ф^ε;

= – J_CX1· ,

где Ф^ω = – m· – центробежная сила инерции; Ф^ε = – m· – вращательная сила инерции; J_CX1 – момент инерции тела относительно оси СХ₁, проходящей через центр масс; – вектор углового ускорения.

Направления сил инерции Ф^ω, Ф^ε показаны на рис. 5.36. Модули составляющих Ф^ω, Ф^ε главного вектора Ф^* сил инерции и приведённого момента сил инерции определяют по формулам:

Ф^ω = m·(( )·CO); Ф^ε = m·(I I·CO); = М^Φ = J_CX1·I I,

где m, , I I – соответственно масса, угловая скорость и модуль углового ускорения тела; СО – расстояние от центра масс до оси вращения.

В инженерной практике наиболее часто используется вариант, в котором центробежная и вращательная силы инерции прикладываются в центре масс (см. рис. 5.38). Этот вариант и рекомендуется для дальнейшего использования как основной вариант.

Для общего ознакомления приведём и другие варианты приложения сил инерции.

Рассмотрим вариант вращательного движения твёрдого тела, при котором силы инерции Ф^ω, Ф^ε прикладываются на оси вращения (рис. 5.39).

В этом случае модули искомых инерционных нагрузок определяются по формулам:

Ф^ω = m·( ·CO); Ф^ε = m·(I I·CO); = М^Φ = J_ОX·I I,

где J_ОХ – момент инерции тела относительно оси вращения.

Рассмотрим вариант вращательного движения твёрдого тела (рис. 5.40), при котором: Ф^ω = m·( ·CO); Ф^ε = m·(I I·CO); = М^Φ = 0.

В этом случае центробежную и вращательную силы инерции прикладывают в точке О₁, а расстояние ОО₁ определяют по формуле

ОО₁ = J_ОХ/(m·CO),

где J_ОХ – момент инерции тела относительно оси вращения.

В инженерной практике широкое распространение имеет вариант, при котором ось вращения тела проходит через его центр масс (рис. 5.41).

В рассматриваемом случае силы инерции материальных точек твёрдого тела приводятся к моменту М^Ф сил инерции.

М^Ф = J_СХ· I I.

Определим и покажем на рис. 5.42 главный вектор Ф^* сил инерции и момент М^Ф сил инерции при плоскопараллельном движении твёрдого тела.

При таком движении твёрдого тела имеем:

Ф^* = m·a_c; М^Ф = J_CZ·I I,

где J_CZ – момент инерции тела относительно оси CZ вращения, проходящей через центр масс.

Для закрепления изложенного материала студентам рекомендуется выполнить курсовое задание Д 5.

5.6.4. Варианты курсового задания Д 5

«Применение принципа Даламбера

к определению реакций связей»

Определить реакции внешних связей механической системы: в заданном положении для вариантов 4, 5, 10, 19, 21 – 30; в момент времени t₁ для вариантов 1, 8, 9, 20; в тот момент времени, когда угол поворота имеет значение φ₁, для вариантов 2, 3, 6, 7.

На расчётных схемах плоскость OXY (AXY) горизонтальна, плоскость OYZ (AYZ) вертикальна. Расчётные схемы механизмов и необходимые для решения данные приведены в табл. 5.3, в которой – угловая скорость; φ₀, – значения угла поворота и угловой скорости в начальный момент времени.

Примечания:

Для варианта 17. Радиус инерции ротора 2 двигателя 3; i_С2Х2 = 0,10 м.

Для варианта 21. Радиус инерции ротора 2 двигателя 3 ; i_С2Х2 = 0,12 м.

Для варианта 25. Радиус инерции шкива 3 i_С3Х3 = 0,18 м.

Для варианта 26. Радиус инерции шкива 3 i_С3Х3 = 0,22 м.

Для варианта 27. Радиус инерции шкива 3 i_С3Х3 = 0,15 м.

Для варианта 28. Радиус инерции шкива 3 i_С3Х3 = 0,15 м.

Вращающиеся тела, для которых не задан радиус инерции, рассматривать как тонкие однородные стержни или сплошные однородные диски (варианты 5, 6 – 9, 12, 16, 20, 22). На схемах вариантов 1, 8, 9, 16, 17, 20 – 22 указаны внешние моменты М.

Таблица 5.3

Номер варианта	Расчётная схема механизма	Исходные данные
		m = 20 кг; l = 0,60 м; М = 1,0 Н·м; t1 = 10 c; φ0 = 0о; = 0 рад/с
		m = 25 кг; l = 0,50 м; φ1 = 60о; φ0 = 0о; = 0 рад/с
		m = 40 кг; l = 0,80 м; φ1 = 60о; φ0 = 0о; = 6,3 рад/с

Продолжение табл. 5.3

		m = 20 кг; l = 0,80 м
		m1 = 30 кг; m2 = 1,5 кг; r = 0,60 м; R = 0,50 м; b = 0,30 м; с = 0,40 м; d = 0,30 м; = 6 рад/с
		m = 40 кг; R = 0,30 м; φ1 = 30о; φ0 = 0о; = 0 рад/с

Продолжение табл. 5.3

		m = 20 кг; R = 0,25 м; φ1 = 60о; φ0 = 0о; ОС = R/2; = 5,5 рад/с
		m = 50 кг; R = 0,30 м; М = 4,0 Н·м; t1 = 5 c; φ0 = 0о; = 0 рад/с
		m1 = 20 кг; m2 = 5 кг; r = 0,60 м; R = 0,50 м; b = 0,30 м; с = 0,25 м; d = 0,30 м; M = 10t Н·м; t1 = 2 c

Продолжение табл. 5.3

		m1 = 12 кг; m2 = 5 кг; l1 = 0,25 м; b = 0,40 м; с = 0,20 м; = 10 рад/с
		m1 = 10 кг; m2 = 6 кг; r = 0,25 м; b = 0,30 м; с = 0,40 м; d = 0,35 м; = 10 рад/с
		m1 = 10 кг; m2 = 6 кг; R = 0,25 м; r = 0,20 м; b = 0,30 м; с = 0,50 м; d = 0,35 м; = 10 рад/с

Продолжение табл. 5.3

		m1 = 10 кг; m2 = 6 кг; b = 0,50 м; с = 0,20 м; = 10 рад/с
		m = 10 кг; b = 0,80 м; с = 0,20 м; = 10 рад/с
		m1 = 10 кг; m2 = 20 кг; b = 0,30 м; с = 0,80 м; d = 0,35 м; = 10 рад/с

Продолжение табл. 5.3

		m1 = 80 кг; m2 = 20 кг; m3 = 0,4m1; R3 = 0,10 м; М = 100 Н·м
		m1 = 10 кг; m2 = 20 кг; m3 = 10 кг; M = 30 Н·м; R2 = 0,2 м; b = 0,30 м; с = 0,80 м
		m = 10 кг; b = 0,30 м; с = 0,20 м; d = 0,35 м; = 10 рад/с

Продолжение табл. 5.3

		m = 12 кг; b = 0,30 м; с = 0,25 м; d = 0,35 м; = 8 рад/с
		m = 40 кг; R = 0,30 м; M = 3,0 H·м; OC = R/2; t1 = 4 c; φ0 = 0о; = 8 рад/с
		m1 = 100 кг; m2 = 40 кг; m3 = 15 кг; M = 124 H·м; R2 = 0,2 м; b = 0,30 м

Продолжение табл. 5.3

		m1 = 80 кг; m2 = 20 кг; R2 = 0,10 м; М = 120 Н·м
		m1 = 10 кг; m2 = 25 кг; b = 0,30 м; с = 0,50 м; d = 0,35 м; = 10 рад/с
		m1 = 10 кг; m2 = 25 кг; b = 0,20 м; с = 0,50 м; d = 0,30 м; = 12 рад/с

Продолжение табл. 5.3

		m1 = 10 кг; m2 = 25 кг; m3 = 20 кг; R3 = 0,30 м; r3 = 0,20 м
		m1 = 80 кг; m2 = 20 кг; m3 = 20 кг; m4 = 20 кг; R3 = 0,30 м; r3 = 0,20 м; b = 0,20 м; c = 0,30 м
		m1 = 50 кг; m2 = 20 кг; m3 = 20 кг; R3 = 0,25 м; r3 = 0,15 м; b = 0,20 м

Окончание табл. 5.3

		m1 = 30 кг; m2 = 15 кг; m3 = 15 кг; P = 300 H; R3 = 0,25 м; r3 = 0,15 м
		m1 = 10 кг; m2 = 25 кг; m3 = 25 кг; b = 0,20 м; с = 0,15 м; d = 0,25 м; = 8 рад/с
		m1 = 10 кг; m2 = 25 кг; m3 = 20 кг; m4 = 15 кг; b = 0,50 м; с = 0,35 м; d = 0,15 м = 16 рад/с

5.6.5. Пример выполнения курсового задания Д 5

В курсовом задании Д 5 требуется определить реакции внешних связей, наложенных на механическую систему в следующих случаях: в произвольный момент времени; в фиксированный момент времени t₁; в тот момент времени, когда угол поворота тела равен значению φ₁.

Рассмотрим последовательно эти случаи.