Решение. Шарик в канале совершает сложное движение, поэтому необходимо рассматривать его движение как сумму относительного и переносного движений

Шарик в канале совершает сложное движение, поэтому необходимо рассматривать его движение как сумму относительного и переносного движений. Введём подвижную (ПСО) и неподвижную (ИСО) системы отсчёта (рис. 3.8).

ИСО выбираем так, чтобы ось O₁Z₁ являлась осью вращения тела А. ПСО закрепляем на теле А таким образом, чтобы ось ОХ совпадала с траекторией относительного движения точки. ПСО вместе с телом А совершает вращательное движение с переносной угловой скоростью = , вектор которой расположен на оси O₁Z₁ и направлен вверх.

Изобразим точку М на траектории относительного движения в произвольный момент времени (Х = f(t) > 0). При этом текущие значения относительной скорости V_r и относительного ускорения a_r направлены в сторону возрастания координаты Х. Изобразим на рис. 3.8 начальную координату Х₀ и начальную относительную скорость V_r0. Так как по условию задания > 0, то вектор V_r0 направлен в сторону возрастания координаты Х.

Траекторией переносного движения является окружность с центром О на оси O₁Z₁ вращения и радиусом r = OM = Х = f(t). Переносная скорость V_е направлена так, как это показано на рис. 3.8 – параллельна координатной оси OY подвижной системы отсчёта.

Поскольку переносное вращение является равномерным (I I = ω_e = const, где ω_е – модуль переносной угловой скорости ), то переносное ускорение

a_e = ,

где – центростремительное ускорение точки М тела А.

= (ω_е)²·ОМ = (ω_е)²·Х.

Согласно правилу векторного произведения (или правилу Жуковского) ускорение Кориолиса (a_c = 2 ×V_r) направлено так же, как и вектор V_е переносной скорости. Модуль ускорения a_c Кориолиса равен

a_c = 2·ω_e·V_r·sin( ,V_r) = 2·ω_e·V_r·sin(90⁰) = 2·ω_e·V_r·1 = 2·ω_e·V_r.

Деформация Δ пружины в произвольный момент времени определяется формулой

Δ = Х – l₀.

На рис. 3.8 приведены только кинематические характеристики точки М при её относительном движении.

Запишем основное уравнение динамики относительного движения.

m·a_r = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е + Ф_е + Ф_с.

Определим силы, действующие на материальную точку, и покажем их на рис. 3.9.

Кориолисова сила инерции Ф_с направлена противоположно кориолисову ускорению a_с, а её модуль равен

Φ_с = m·a_c = m·(2·ω_e·V_r).

Переносная сила инерции Ф_е направлена противоположно переносному ускорению a_е, а её модуль равен

Φ_е = m·a_e = m·(ω_e)²·Х.

К реакциям внешних связей R_i^Е относятся силы: F_yn – сила упругости пружины; N₁, N₂ – реакции гладкой поверхности канала, по которому перемещается точка М.

F_yn = c·Δ = c·(Х – l₀).

Реакция N₁ направлена вертикально вверх (навстречу вектору G силы тяжести точки). Реакция N₂ расположена в горизонтальной плоскости OXY и направлена противоположно вектору Ф_с кориолисовой силы инерции.

С учётом изложенного основное уравнение динамики относительного движения принимает вид

m·a_r = G + F_yn + N₁ + N₂ + Ф_е + Ф_с.

Запишем дифференциальные уравнения относительного движения материальной точки. Для этого последнее векторное выражение спроецируем на координатные оси ПСО:

m· = – F_yn + Φ_e = – c·Δ + m·(ω_e)²·Х = – c·(Х – l₀) + m·(ω_e)²·Х =

= – c·x + c·l₀ + m·(ω_e)²·Х; (1)

m· = N₂ – Φ_c = N₂ – m·(2·ω_e· ); (2)

m· = – G + N₁. (3)

Поскольку относительное ускорение a_r на координатные оси OY, OZ не проецируется ( = 0; = 0), то с учётом исходных данных курсового задания уравнения (2), (3) принимают вид:

N₂ = m·(2·ω_e· ); (2^I)

N₁ = m·g. (3^I)

Дифференциальное уравнение (1) приведем к виду

+ (c/m – (ω_e)²)·X = c·l₀/m. (1^I)

Поскольку c/m – (ω_e)² = k² и c·l₀/m = b = const, то уравнение (1^I) принимает вид

+ k²·X = b. (1^II)

Согласно положениям высшей математики общее решение дифференциального уравнения (1^II) будем искать по формуле

X = X^* + X^**,

где X^* – общее решение дифференциального уравнения вида + k²·X = 0; X^** – частное решение дифференциального уравнения (1^II).

Приступаем к определению общего решения X^* дифференциального уравнения вида + k²·X = 0. Это решение зависит от знака величины c/m – (ω_e)² = k². Если k² > 0, то X^* = A·sin(k·t + β). Если k² < 0, то X^* = C₁·e^k·t + C₂·e^-k·t. Определим значения k² и k:

k² = c/m – (ω_e)² = 20/0,09 – (3,14)² = 22,540 c^-2 > 0; k = 4,747 c^-1.

Поскольку k² > 0, то X^* = A·sin(4,747·t + β).

Частное решение X^** дифференциального уравнения (1^II) зависит от вида его правой части. Поскольку его правая часть постоянна (b = c·l₀/m = const), то его частное решение будем искать в виде X^**= B = const.

При частном решении уравнение (1^II) принимает вид

^** + k² ·X^** = b.

Так как ^** = ( ) = 0, то имеем k²·B = c·l₀/m. Отсюда получим

B = (c·l₀/m)/k² = (20·0,1/0,09)/22,54 = 0,985 м.

Итак, общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид

X = X^* + X^** = A·sin(4,747·t + β) + 0,985,

где А и β – постоянные интегрирования, зависящие от начальных условий относительного движения.

В нашем случае: X₀ = 0,2 м; = 0,3 м/с. Для определения постоянных интегрирования А и β определим проекцию относительной скорости V_r на ось ОХ.

= dX/dt = A·cos(4,747·t + β)·4,747.

При t₀ = 0 имеем:

X₀ = 0,2 = A·sin(β) + 0,985;

= 0,3 = A·cos(β)·4,747.

Преобразуем эту систему уравнений к виду:

0,2 – 0,985 = A·sin(β) = – 0,785;

0,3/4,747 = A·cos(β) = 0,063.

Возведя в квадратную степень левые и правые части уравнений и сложив их, получим:

= 0,787 м;

sin(β) = – 0,785/A = – 0,785/0,787 = – 0,997;

cos(β) = 0,063/0,787 = 0,080.

Поскольку sin(β) < 0, а cos(β) > 0, то величину угла β определим по формуле β = 2π – α, где α = arcsin(0,987) = 1,482 рад или α = arcсоs(0,080) = 1,482 рад. Тогда

β = 2·π – α = 2·3,14 – 1,482 = 4,798 рад.

В окончательном виде имеем:

X = 0,787·sin(4,747·t + 4,798);

= 3,776·cos(4,747·t + 4,798).

По условиям задания кроме значения координаты X(t₁) необходимо определить модуль N(t₁) нормальной реакции Nв момент времени t₁.

N(t₁) = .

С учетом выражений (2^I), (3^I) имеем

N(t₁) = .

Результаты расчётов помещают в таблицу.

Уравнение относительного движения точки	Вычисляемые величины
X(t1), м	, м/с	N(t1), H
X = 0,787·sin(4,747·t + 4,798)	0,666	2,006	1,986

По результатам решения желательно построить графики зависимостей X = f₁(t), N = f₂(t).

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Записать основное уравнение динамики относительного движения.

2. Записать формулу для определения переносной силы инерции.

3. Записать формулу для определения кориолисовой силы инерции.

4. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение есть неравномерное вращение относительно неподвижной оси, а относительное движение прямолинейное.

5. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение есть равномерное вращение относительно неподвижной оси, а относительное движение прямолинейное.

6. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение есть поступательное неравномерное криволинейное движение, а относительное движение прямолинейное.

7. Записать основное уравнение динамики относительного движения точки для случая, когда переносное движение есть прямолинейное и равномерное движение, а относительное движение прямолинейное.

8. Сформулировать принцип относительности классической механики.