Моменты инерции твёрдого тела. Радиус инерции

При поступательном движении твёрдого тела, так же как и при движении материальной точки, мерой инертности является масса. При вращательном движении твёрдого тела мерой его инертности является момент инерции относительно оси вращения.

Напомним, что в теоретической механике твёрдое тело рассматривается как механическая система, образованная непрерывной совокупностью взаимосвязанных материальных точек.

Момент инерции механической системы относительно оси – величина, равная сумме произведений масс всех материальных точек, образующих механическую систему, на квадраты их расстояний от данной оси.

Рассмотрим твёрдое тело как множество материальных точек C_i с координатами X_Ci, Y_Ci, Z_Ci (рис. 4.2).

Согласно определению моменты инерции J_OX, J_OY, J_OZ относительно соответствующих координатных осей OX, OY, OZ вычисляют по формулам:

J_OX = Σm_Ci·((Y_Ci)² + (Z_Ci)²);

J_OY = Σm_Ci·((X_Ci)² + (Z_Ci)²);

J_OZ = Σm_Ci·((X_Ci)²+(Y_Ci)²).

Момент инерции относительно оси характеризует распределение масс материальных точек относительно этой оси. Момент инерции всегда положителен и имеет размерность кг/м².

Момент инерции твёрдого тела относительно оси, проходящей через его центр масс, всегда имеет минимальное значение.

Формулы для определения моментов инерции некоторых однородных твёрдых тел приведены в табл. 4.1.

Таблица 4.1