Точки в естественных координатных осях. В первой задаче динамики точки известно уравнение S = f(t) движения точки в естественных координатных осях

В первой задаче динамики точки известно уравнение S = f(t) движения точки в естественных координатных осях. Могут быть заданы начальные условия движения, к которым относятся дуговая координата S₀ и скорость V₀ в момент времени t₀ = 0. При естественном способе задания движения точки известно следующее: вид траектории движения; начало отсчёта дуговой координаты S; положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты.

Алгоритм решения первых задач динамики в естественных координатных осях представляет собой следующую совокупность действий исполнителя.

1. Изображается известная траектория движения точки. На этой траектории наносятся начало отсчёта (О), положительное (+) и отрицательное (–) направления отсчёта дуговой координаты S.

2. Точка изображается на траектории движения в произвольный момент времени. При этом точка имеет координату S > 0 и движется в сторону её увеличения ускоренно.

3. В эту точку помещается начало координат ПСО, которая представляет собой совокупность трёх взаимно перпендикулярных осей: касательная, главная нормаль, бинормаль. При этом единичный вектор τ всегда направлен в сторону увеличения дуговой координаты S. Единичный вектор n направлен к центру кривизны траектории движения точки.

4. По данным задачи определяют и изображают на рисунке начальные условия движения (S₀, V₀).

5. К точке прикладывают активные силы F_i^E и реакции R_i^E внешних связей.

6. Записывают дифференциальные уравнения движения точки, которые имеют следующий вид:

m· = Σ + Σ ;

m· /ρ = Σ + Σ ;

Σ + Σ = 0.

7. По заданному уравнению движения S = f(t) определяют проекцию скорости и проекцию ускорения точки на касательную.

8. Определённые проекции , подставляют в дифференциальные уравнения движения точки.

9. Определяют проекции P_oτ, P_on равнодействующей активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей на координатные оси ПСО. Для этого необходимо решить следующие уравнения:

P_oτ = m· = Σ + Σ ; (1)

P_on = m· /ρ = Σ + Σ ; (2)

Σ + Σ = 0. (3)

10. Определяют модуль Р равнодействующей активных сил F_i^E и реакций R_i^E внешних связей, действующих на точку.

.

11. Для ориентации вектора Р в пространстве определяют направляющие косинусы.

cos(P, τ) = P_оτ/P; cos(P, n) = P_оn/P.

12. По величине значений направляющих косинусов находят значения углов, составленных направлениями координатных осей ПСО и силой Р.

13. Равнодействующую Р активных сил F_i^Е и реакций R_i^Е внешних связей изображают на рисунке, иллюстрирующем результаты расчётов. Необходимо отметить, что сила Р лежит в соприкасающейся плоскости так же, как и ускорение a точки и имеет с ним одинаковое направление.