Точки в декартовой системе отсчёта

Условие задачи.

Под действием горизонтальной силы F₁ движение материальной точки массой m = 8 кг происходит по гладкой горизонтальной плоскости OXY согласно уравнениям X = 0,05·t³, Y = 0,3·t². Определить модуль равнодействующей приложенных к точке сил в момент времени t₁ = 4 с (рис. 1.5).

Решение.

1. Выбираем систему отсчёта ОXY.

2. Изобразим точку на траектории её движения в произвольный момент времени. Согласно известным положениям кинематики скорость V точки направлена по касательной к траектории движения, а её ускорение а направлено в сторону вогнутости траектории движения.

3. Так как начальные условия движения точки не заданы, то на рис. 1.5 они не показаны.

4. Согласно условию задачи к точке приложены активные силы F₁ и G. Так как поверхность, по которой перемещается точка, гладкая, на точку действует только нормальная реакция N. Основное уравнение динамики для рассматриваемой задачи имеет вид m·a = ΣF_i^Е + ΣR_i^Е = G + F₁ + N. Поскольку рис. 1.5 приведён в ортогональной проекции, то сила тяжести G и нормальная реакция N не

5. Запишем дифференциальные уравнения движения точки.

m· = Σ + Σ = F_1OX = Р_OX; (1)

m· = Σ + Σ = F_1OY = Р_OY; (2)

m· = Σ + Σ = F_1OZ = P_OZ. (3)

6. По заданным уравнениям движения X = 0,05·t³, Y = 0,3·t² определим проекции , , ускорения точки на координатные оси.

7. Найденные значения , , подставим в уравнения (1), (2), (3).

m·(0,3·t) = F_1OX = Р_OX; (1^I)

m·(0,6) = F_1OY = Р_OY; (2^I)

m·(0) = F_1OZ = Р_OZ = 0. (3^I)

8. Определим модуль Р равнодействующей активных сил и реакций внешних связей.

= .

9. Вычислим значения F_1OX, F_1OY, P для момента времени t₁= 4 c.

F_1OX(t₁) = 0,3·m·t₁ = 0,3·8·4 = 9,6 H;

F_1OY(t₁) = 0,6·m = 0,6·8 = 4,8 H;

= 10,733 H.

10. Определим направляющие косинусы и углы, составленные направлениями координатных осей и силой.

cos(P(t₁), i) = F_1OX(t₁)/P(t₁) = 9,6/10,733 = 0,894; α = 26,563^о;

cos(P(t₁), j) = F_1OY(t₁)/P(t₁) = 4,8/10,733 = 0,447; β = 63,434^о.

11. Определим координаты точки на траектории её движения в момент времени t₁, и полученную информацию отобразим на рис. 1.6: X(t₁) = 0,05·4³ = 3,2 м; Y(t₁) = 0,3·4² = 2,4 м.