II.ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ. 1 страница

2.1. Основные понятия и определения.

Прямолинейное движение точки, заданное уравнением

, (2.1)

называется гармоническим колебательным движением.

Так как синус является периодической функцией, то координата движущейся точки также изменяется периодически, принимая значения из интервала , т. е. точка отклоняется последовательно в ту и другую сторону на величину от начала координат (рис.5).

Постоянная , равная величине наибольшего отклонения колеблющейся точки от ее среднего положения (точки ), называется амплитудой колебаний точки.

Расстояние между двумя крайними положениями точки, равное удвоенной амплитуде, называется размахом колебаний.

Периодом колебаний называется промежуток времени между двумя последовательными прохождениями точки через одно и то же положение с одной и той же скоростью.

Аргумент синуса называется фазой колебаний точки, а величина —начальной фазой.

Так как период синуса равен , то увеличение аргумента синуса на должно произойти за промежуток времени, равный периоду колебаний точки, т. е. .

Отсюда находим

.

Число колебаний в 1 сек называется частотой. Ее величина

.

Следовательно .

Из этой формулы виден физический смысл постоянной , называемой круговой или циклической частотой колебаний—число колебаний в сек.

Частота измеряется в герцах (Гц) ( один герц—это одно колебание в секунду), а круговая частота измеряется в рад/с.

В дальнейшем величину для краткости будем называть просто частотой.

Выясним, под действием какой силы точка совершает прямолинейные гармонические колебания. Для этого решим прямую задачу динамики точки.

Дано: точка, масса которой совершает прямолинейные гармонические колебания по закону

.

Определить: силу , вызвавшую это движение.

В соответствии с дифференциальным уравнением прямолинейного движения материальной точки (1.16) проекции искомой силы

.

Вычислив соответствующие производные, получим:

.

Таким образом, точка будет совершать гармонические колебания, если на эту точку, отклоненную от неподвижного центра , действует сила , направленная к центру и пропорциональная расстоянию

от этого центра. Проекция силы на ось

,

где —постоянный коэффициент пропорциональности. Сила , как видно, стремится вернуть точку в равновесное положение , где . Она называется восстанавливающей силой. Примером такой линейной восстанавливающей силы может служить сила упругости (сила реакции) пружины. В этом случае коэффициент пропорциональности —коэффициент жесткости пружины, численно равный силе упругости ее при деформации, равной единице.

2. Свободные колебания в среде без сопротивления.

Пусть точка массы движется вдоль горизонтальной прямой под действием восстанавливающей силы (рис.6). Прямолинейное движение материальной точки под действием только восстанавливающей силы называется свободным колебанием точки.

Для изучения свободного колебания составим дифференциальное уравнение движения точки, которое в данном случае имеет вид:

, или .

Разделив на массу точки , и обозначив , запишем окончательно

.

Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением свободных колебаний материальной точки.

Для интегрирования этого однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами составим характеристическое уравнение

.

Его корни—числа мнимые

и ,

следовательно, общее решение дифференциального уравнения (2.2) имеет вид

,

где и —постоянные интегрирования, определяемые начальными условиями. В качестве начальных условий зададим начальное положение точки и начальную скорость, т. е. при , , .

Чтобы определить значения постоянных интегрирования и найдем уравнение, определяющее скорость точки, продифференцировав уравнение (2.3):

.

Подставив начальные условия в уравнения (2.3) и (2.4), найдем

, ,

откуда

.

После подстановки найденных значений и в (2.3) получаем уравнение движения рассматриваемой точки:

.

Уравнению (2.5) можно придать другой вид, введя вместо постоянных и две другие постоянные и , положив

; .

Выражение (2.3) примет следующий вид:

.

Произвольные постоянные и , как и и находятся по начальным условиям. Для их определения выразим и через

и :

, ,

Откуда

, , .

Значение амплитуды считаем положительным, угол изменяется в пределах от до . Поэтому для его определения надо кроме величины тангенса знать еще знак синуса этого угла.

Окончательно, уравнение движения точки определяется следующим уравнением

.

Уравнение —уравнение гармонических колебаний точки. Таким образом, установлено, что свободные колебания материальной точки под действием линейной восстанавливающей силы являются гармоническими колебаниями.

Так как , то частота и период свободных колебаний определяются по формулам:

,

.

Как видно, частота и период свободных колебаний точки зависят только от массы этой точки и от коэффициента , характеризующего восстанавливающую силу, и не зависят от начальных условий движения.

Период свободных колебаний увеличивается при увеличении массы точки и уменьшается при увеличении коэффициента . Независимость периода колебаний от начальных условий называется изохронностью, а движение с таким периодом—изохронным.

2.4. Вынужденные колебания при отсутствии сопротивления.

Рассмотрим колебания материальной точки, на которую кроме восстанавливающей силы действует еще , проекция которой на ось , направленную по траектории точки, изменяется по гармоническому закону

.

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происходящие при действии такой силы, называются вынужденными.

—амплитуда возмущающей силы; —частота возмущающей силы; —фаза изменения возмущающей силы; —начальная фаза изменения возмущающей силы.

Пусть на прямолинейно движущуюся точку массы кроме восстанавливающей силы , пропорциональной отклонению точки от положения равновесия, действует только возмущающая сила .Точка с приложенными к ней силами и оси координат изображены на рис.11. Основное уравнение динамики точки имеет вид:

.

Спроектировав его на ось , получаем дифференциальное уравнение движения точки:

,

где , . Перенося все члены в левую часть и деля их на массу , получаем:

.

Здесь частота свободных колебаний; и имеет размерность ускорения.

Уравнение — дифференциальное уравнение вынужденных колебаний точки при отсутствии сопротивления.

Решение этого уравнения зависит от соотношения между частотой возмущающей силы и частотой собственных колебаний. Тут возможны два случая: 1) и 2) .

1. Случай отсутствия резонанса.

Найдем решение уравнения (2.23) для случая, когда частота возмущающей силы отлична от частоты свободных колебаний ( —нет резонанса.).

Уравнение (2.23)—неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения

и частного решения данного уравнения (2.23):

Однородное уравнение совпадает с дифференциальным уравнением собственных колебаний (2.2) и его решение может быть записано в двух эквивалентных формах (2.3) и (2.6):

.

Частное решение неоднородного уравнения (2.23) определяется правой частью этого уравнения. В случае будем искать это решение в виде:

.

Постоянную следует определить из условия, что функция —частное решение уравнения (2.23) и, кроме того, подстановка в это уравнение должна превратить его в тождество. Вычисляем необходимые производные по времени от :

, .

После подстановки в (2.23) получаем:

.

Полученное равенство будет выполняться при любом значении , если

,

откуда

.

Подставляя найденное значение в (2.25), находим искомое частное решение неоднородного уравнения:

.

Общее решение уравнения (2.23) имеет окончательный вид

.

В амплитудной форме

.

Решение (2.29) показывает, что колебания в рассматриваемом случае слагаются из: 1) колебаний с амплитудой и частотой , называемых собственными колебаниями; 2) колебаний с амплитудой и частотой , которые называются вынужденными колебаниями.

Постоянные интегрирования и , или и определяются по начальным условиям:

, .

Предварительно найдем

.

Подставляя эти значения в выражения для и при , получаем

, .

Отсюда

, .

Амплитуда собственных колебаний и начальная фаза через и выражается формулами

, .

Следовательно, амплитуда и начальная фаза собственных колебаний при действии возмущающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров этой силы, то есть собственные колебания в этом случае могут возникнуть не только из-за начальных условий, но и благодаря действию возмущающей силы даже при нулевых начальных условиях.

Рассмотрим вынужденные колебания, определяемые формулой

Частота этих колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы, амплитуда

.

В зависимости от соотношения между частотами вынужденные колебания можно выразить в двух формах:

при

,

при

.

Следовательно, при фаза вынужденных колебаний совпадает с фазой возмущающей силы. В этом случае сдвиг фаз между ними равен нулю, то есть вынужденные колебания и возмущающая сила достигают одновременно максимальных и минимальных значений.

При сдвиг фаз . Действительно, сдвиг фаз как разность фаз между возмущающей силой и вынужденными колебаниями

.

В этом случае вынужденные колебания находятся в противофазе по отношению к возмущающей силе, то есть, в частности, если возмущающая сила достигает максимума, то функция достигает минимума и наоборот.

Итак, вынужденные колебания системы без сопротивления при , возбуждаемые гармонической возмущающей силой:

1) являются гармоническими колебаниями с постоянной амплитудой;

2) их частоты совпадают с частотой возмущающей силы;

3) они не зависят от начальных условий.

2. Случай резонанса.

Резонансом называется случай совпадения частот собственных колебаний и возмущающей силы, т. е.когда .

Как и в предыдущем случае, дифференциальное уравнение движения определяется уравнением

и оно имеет общее решение

.

Здесь общее решение однородного уравнения

,

по-прежнему имеет вид

.

А вот частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде

,

-рассматривается случай .

Постоянная определяется из условия, что при подстановке в рассматриваемое неоднородное дифференциальное уравнение это уравнение обращается в тождество.

Вычисляем производные:

;

и подставляем значения и в уравнение :

,

или

.

Приравнивая коэффициенты при синусе в левой и правой частях этого уравнения:

.

Получаем, что частное решение

,

а искомое общее решение уравнения

.

Уравнение показывает, что движение точки при резонансе является результатом наложения свободных и вынужденных колебаний точки, так же, как и при .

Рассмотрим вынужденные колебания при резонансе

.

Основной особенностью этих колебаний является зависимость их амплитуды от времени

.

Амплитуда вынужденных колебаний при резонансе увеличивается пропорционально времени. Частота и период вынужденных колебаний при резонансе равны частоте и периоду свободных колебаний точки. Фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы величину .

III. ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ.

3.1 Механическая система. Силы внешние и внутренние.

Механической системой называется такая совокупность материальных точек или тел, в которой положение или движение каждой точки или тела зависит от положения и движения всех остальных. Так, например, при изучении движения Земли и Луны относительно Солнца совокупность Земли и Луны является механической системой, состоящей из двух материальных точек, при разрыве снаряда на осколки мы рассматриваем осколки как механическую систему. Механической системой является любой механизм или машина.

Если расстояния между точками механической системы не изменяются при движении или покое системы, то такая механическая система называется неизменяемой.