Оператора и с определителями
Пусть в Еn задан линейный оператор А с матрицей (аij). Тогда: yi = aijxj (в базисе еi). Рассмотрим в Еn базис {ei¢}: yi¢ = ai¢j¢xj¢ Þ pi¢iyi = ai¢j¢pj¢jxj . Умножим обе части равенства на pi¢k. pi¢ipi¢kyi = ai¢j¢pj¢jpi¢kxj Þ dikyi = ai¢j¢pj¢jpi¢kxj Þ yk = pi¢kpj¢jai¢j¢xj. С другой стороны: yi = aijxj, т.е. aij = pi¢ipj¢jaij.
Таким образом, элементы матрицы линейного оператора образуют тензор 2го ранга.
Наоборот всякий тензор 2го ранга можно истолковать как матрицу линейного оператора.
Поэтому теория тензоров 2го ранга непосредственно связана с теорией линейных операторов и с теорией матриц.
Это дает возможность выявить связь тензоров 2го ранга с определителями и т.д.
Теперь: пусть jik – произвольный тензор 2го ранга. Построим тензор 3го ранга cabc по правилу: cabc = eikljiajkbjlc . Тогда cbac = eikljibjkajlc ekiljkbjiajlc = ekiljiajkbjlc = =-eikljiajkbjlc = –cabc. Следовательно абсолютно антисимметричный тензор 3го ранга всегда можно представить в виде: cabc = jeabc, где φ – скаляр. Т.е. каждому тензору 2го ранга φik можно поставить в соответствие скаляр φ такой, что:
eikljiаjkbjlc = jeabc (*)
Оказывается, что этот скаляр равен определителю, составленному из компонент φik: , в этом легко убедиться непосредственным вычислением, например, зафиксировав в (*) говорящие индексы (скажем а = 1, b = 2, c = 3) и выполнив суммирование по немым индексам i, k, l: je123 = eiklji1jk2jl3 = …
В этой же идеологии нетрудно ввести понятия тензора обратного к данному тензору 2го ранга (Если , то тензор обратный к тензору jik), и получить условия обратимости тензора 2го ранга.
Можно сформулировать (а для симметричного тензора и всегда решить) задачу о приведении тензора 2го ранга к главным осям. Эта задача равносильна задаче построения собственного базиса для линейного оператора.
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 710;