Интегральные формулы тензорного анализа

1°. В векторном анализе поток векторного поля через поверхность S определяется как: (здесь – орт нормали к поверхности S). При этом поток векторного поля это скаляр.

Аналогично можно определить поток тензорного поля ранга r через поверхность S, как .

При этом поток тензорного поля ранга r через поверхность S это тензор (r – 1)^го ранга (покажите, что поток это тензор). Всего существует r различных полей ранга (r – 1) типа «поток» в зависимости от того по какому индексу тензора Т идет свертка.

2°. Для векторных полей известна формула Гаусса-Остроградского:

.

Для тензорных полей существует r формул типа «Гаусса-Остроградского»

(справа и слева немой индекс должен быть один и тот же)

3°. Формула Стокса для векторного поля имеет вид .

Та же формула в тензорной записи выглядит так: .

Формула Стокса может быть записана и для тензорных полей ранга r:

.

Всего может быть записано r формул типа «Стокса».

§18. Тензоры (задачи)

1) Показать, что произведение скаляра на тензор 2-го ранга является тензором 2-го ранга.

2) Показать, что величина (где - тензор 3-го ранга, – тензор 2-го ранга) является вектором.

3) Доказать инвариантность свойств антисимметрии антисимметричного тензора 2-го ранга .

4) Показать, что произведение тензоров 3-го ранга и 2-го ранга является тензором 5-го ранга.

5) Компоненты тензора Т_ik в некотором ортонормированном базисе образуют матрицу и, в том же базисе, вектор В имеет координаты (1,2,3).

а) Разложить тензор Т_ik в сумму симметричного S_ik и антисимметричного тензоров. б) Найти:

6) Пользуясь аппаратом тензорной алгебры, проверить тождества:

7) Записать в векторной форме выражение:

8) Пользуясь аппаратом тензорной алгебры, проверить тождества:

9) Пользуясь аппаратом тензорной алгебры, вычислить:

(радиус – вектор – , (постоянный вектор – ))

10) Найти дивергенции и роторы следующих векторов: .

(радиус – вектор – , (постоянный вектор – а, b))

11) Вычислить интеграл , где a, c – постоянные вектора, n(r) – орт нормали к поверхности S, которая ограничивает объем V.