Дифференциальные операции 2го порядка

1°.Для скалярной функции φ: , и такая величина называется лапласианом функции.

Аналогично можно ввести лапласиан произвольного тензора ранга r и получить тензорное поле того же ранга:

Рассмотрим divrotA, где А – произвольное векторное поле:

Div rotA =

.

Равенство подчеркнутых выражений позволяет заключить, что divrotA = 0 для любого векторного поля А.

Аналогичное тождество имеет место для тензорного поля любого ранга (кроме нулевого): .

3°. Проверим справедливость тождества: rot rot = grad div - Δ .

◀ (rot rot A)_i =

(divA) - (DA)_i = (grad divA)_i - (DA)_i = (grad divA - DA)_i ▶

Аналогичное тождество можно записать и для произвольного тензорного поля.