Еще о свойствах эрмитового оператора

Т°. Чтобы линейный оператор АÎL(V, V) был эрмитов необходимо и достаточно,

чтобы Im(Ax, x) = 0.

◀ Прежде всего, отметим, что "АÎL(V, V) $A_R, A_IÎL(V, V) такие что A = A_R +iA_I и, кроме того А_R и А_I – эрмитовы. Следовательно, (A_Rx, x)ÎR и (A_Ix, x)ÎR, т.е. (Ax, x) = = .

Теперь:

Необходимость. Пусть А = А^* Þ (Ах, х)ÎR Þ Im(Ах, х) = 0.

Достаточность. Пусть Im(Ах, х) = 0 Þ (A_Ix, x) = 0 Þ Þ ||A_I|| = 0 Þ A_I = 0 Þ

Þ A = A_R Þ A_R – эрмитов ▶

Т°. Если А – эрмитов оператор и λ – его собственное значение, то $хÎV, ||х|| = 1, и

l = (Ах, х).

◀ Пусть z - собственный вектор оператора А, соответствующий собственному значению λ:

Аz =λz Þ = (Ах, х),

где х – собственный вектор и ||х|| = 1 ▶

Следствие: Пусть А – эрмитов оператор и m = . Тогда для собственных значений λ оператора А справедливо m £ l £ M.

Т°.Если А – самосопряженный (эрмитов) оператор и "xÎV; (Ax, x) ³ 0, то

||A|| = l_max

◀ . Обозначим l = (Ax₀, x₀) = ||A||. Рассмотрим

||(A – lЕ)х₀||² = (Ax₀ – lx₀, Ax₀ – lx₀) = (Ax₀, Ax₀) – l(х₀, Ах₀) – (Ax₀, x₀) + l (х₀, х₀) =

= = (Ax₀, Ax₀) – l(Ах₀, х₀) – l(Ах₀, х₀) + l²(х₀, х₀) = =

= ||Aх₀||² – 2||A||² + ||A||² = 0, т.е. ||(A – lЕ)х₀|| = 0 Þ (A – lЕ)х₀ = 0 Þ Aх₀ = lх₀, т.е. l – собственное значение ▶

Продолжаем изучение спектральных свойств эрмитовых операторов.

Т°. Пусть для эрмитового оператора А m = ; тогда m и

М – наименьшее и наибольшее собственное значение оператора А.

◀ Достаточно доказать, что m и М – собственные значения оператора А.

1) Рассмотрим оператор B = A – mE Þ В – эрмитов Þ (Вх, х) = (А(х), х) – m(х, х) ³ 0. Т.е. В – эрмитов, (Bx, x) ³ 0 Þ || B || = l_max, но , т.е. для В: l_max = M – m Þ $x₀ Bx₀ = (M – m)x₀ Þ (A – mE)x₀ = Mx₀ – mx₀ Þ Ax₀ – mx₀ = = Mx₀ – mx₀ Þ Ax₀ = mx₀ Þ Mx₀ – собственное значение оператора А.

2) Рассмотрим В = –А Þ В – эрмитов. Þ Þ – m – собственное значение В

Þ $х Вх = – m Þ –Ах = – mх Þ Ах = mх, т.е. m – собственные значения А ▶

Тº (о собственном базисе эрмитового оператора). Если А – эрмитов оператор: АÎL(V, V) в n-мерном унитарном пространстве, то в V существует n-линейно-независимых, попарно ортогональных и единичных собственных векторах.

◀ 1) А – эрмитов, АÎL(V, V) = l_max = l₁ = и $е₁ – единичный собственный вектор с собственным значениям l₁: Ае₁ = l₁е₁. Обозначим V₁ = ℒ^{^}(е₁). При этом V = V₁ Å ℒ(е₁). Оказывается V₁ – инвариантно относительно А. В самом деле

"хÎV₁: (Ах, е₁) = (х, Ае₁) = l₁(х, е₁) 0, т.е. (Ах, е₁) = 0 Þ .

2) Теперь можем рассмотреть А в V₁: АÎL(V₁, V₁), А – эрмитов Þ l_max = l₂ =

и $е₂ – единичный вектор, такой, что Ае₂ = l₂ е₂ и е₂ ^ е₁.

Рассмотрим V₂ = ℒ^{^}(е₁, е₂). Тогда V = V₁ Å ℒ(е₁), V₂ – инвариантно относительно А.

"хÎV₂: (Ах,a₁е₁+a₂е₂) = (х, А(a₁е₁) + А(a₂е₂)) = 0,

Ах^a₁е₁ +a₂е₂ Þ "хÎV₂.

3) …

4) …

Итак, $e₁, …, e_n - единичные, взаимно ортогональные и собственные векторы,

т.е. в V существует ортонормированный базис, состоящий из собственных векторов оператора А ▶

Примечание: Договоримся, в дальнейшем, нумеровать собственные значения в порядке их убывания с учетом кратности, т.е. l₁ ³ l₂ ³ … ³ l_n и соответствующие им векторы е₁, е₂, …, е_n обладают свойством (e_i, e_j) = d_ij.

Примечание: Из доказанной выше теоремы следует: , или , где Е_m = ℒ(е₁, е₂, …, е_m).

Т° (минимаксное свойство собственных значений). Пусть А – эрмитов оператор и l₁ ³ l₂ ³ … ³ l_n его собственные значения, тогда где ℇ_m –множество всех m-мерных подпространств пространства V.

Доказать cамостоятельно.