Теорема Гамильтона – Кэли

Пусть А – эрмитов оператор; l₁ ³ l₂ ³ … ³ l_n собственные значения этого оператора и {е₁, е₂, …, е_m} – соответствующий им ортонормированный собственный базис. Тогда "xÎV ; Ax = .

Def: Оператор Р_k: P_kx = (x,e_k)e_k, называется оператором-проектором или просто проектором на одномерное пространство, порожденное вектором {e_k}.

Свойства проекторов:

1°. P_k – самосопряженный (эрмитов).

◀ (P_kx, y) = ((x,e_k)e_k, y) = (x,e_k)(e_k,y) = (x, e_k) = (x, (y,e_k)e_k) = (x, P_ky) ▶

2°. = P_k. ◀ = P_k(P_kx) = P_k(x,e_k)e_k = (x,e_k)Pe_k = (x,e_k)(e_k,e_k)e_k = (x,e_k)e_k = P_kx ▶

3°. P_kP_j = 0, (x ¹ j). ◀ P_kP_j x = P_k(P_j x) = P_k(x,e_j)e_j = (x,e_j)P_ke_j = (x,e_j) e_k = 0 ▶

Для операторов-проекторов P_k имеем:

.

Такое представление эрмитового оператора А называется его спектральным разложением . Обратим еще внимание: .

Def: Пусть Р(λ) – произвольный полином р^й – степени, т.е. . Тогда определим полином от оператора слеующим образом: .

Тº. (Гамильтона-Кэли). Эрмитов оператор А является корнем своего

характеристического полинома: если .

◀ ▶