Норма оператора

Def: Нормой линейного оператора AÎL(V, V) называется число ||A|| определяемое равенством ||A|| = .

Из определения нормы линейного оператора возникает очевидное и очень полезное неравенство ||A|| £ ||A||×||х|| .

Т°. Для эрмитового оператора А: ||A|| = .

◀ Обозначим m = .

1) Вспомним неравенство Коши-Буняковского (х, у)²£ (х, х)(у, у) запишем |(х,у)|£ ||x||×||y|| Þ

Þ |(Aх, x)| £ ||Ax||×||x|| £ ||Ax||×||x||×||x|| = ||A||×||x||², т.е. |(Aх, x)| £ ||A||×||x||² и пусть ||x|| = 1.

|(Aх, x)| £ ||A||

т.е. m £ ||A|| (*)

2) Отметим: |(Az, z)| £ |(Az/||z||, z/||z||)| × ||z||² £ ||z||² × sup|(Az/||z||, z/||z||)|,

т.е. |(Az, z)| £ m||z||² и теперь рассмотрим разность:

(A(х + у), х + у) – (А(х – у), х – у) = (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) + (Ау, у) – (Ах, х) + (Ах, у) + (Ау, х) – (Ау, у) = 2(Ах, у) + 2(Ау, х) = 2((Ах, у) + (у, Ах)) = 2((Ах, у) + ( )) = 4Re(Ах, у), т. е. 4Re(Ах, у) = (A(x + y), x + y) – (А(х – у), х – у).

Тогда:

4|Re(Ах, у)| = |(A(x + y), x + y) – (А(х – у), х – у)| £ |(A(x + y), x + y)| + |(А(х– у), х– у)| £

£ m((x+ y, x + y) + (х– у, х– у)) = m((x, x) + (y, y)+ (х, у)+ (y, x) + (x, x) +(y, y) – (x, y) – (y, x)) =

= 2m((x, x) + (y, y)) = 2m (||x||² + ||y||²). Отсюда, при ||x|| = ||y|| = 1

4|Re(Ах, у)| £ 4m Þ| Re(Ах, у)| £ m.

Положим теперь (очевидно ||y|| = 1):

.

Тогда , т.е. ||А|| £ m.

В 1) и 2) доказано, что ||А|| ³ m и ||А|| £ m, т.е. ||А|| = m = ▶