В унитарном пространстве

§1. Сопряженный оператор

Def: Оператор А^*ÎL(V, V) называется оператором, сопряженным к оператору "АÎL(V, V), если "х, уÎV; (Ах, у) = (х, А^*у).

Т°. Оператор, сопряженный к линейному – линеен.

◀ (х, А^*(a₁у₁ + a₂у₂)) = (Ах, a₁у₁ + a₂у₂) = (Ах, у₁) + (Ах, у₂) =

= (х, А^*у₁) + (х, А^*у₂) = (х, a₁А^*у₁) + (х, a₂А^*у₂) = (х, a₁А^*у₁+ a₂А^*у₂) ▶

Т°. Любой линейный оператор имеет сопряженный и при этом только один.

◀ Так как (Ax, y) – скалярное произведение в унитарном пространстве, то оно является полуторалинейной формой, которую мы обозначим - B(x, y). Из теоремы о специальном представлении полуторалинейной формы следует утверждение теоремы (Ax, y) = B(x, y) = (x, A^*y) ▶