Корень m-й степени из оператора

Def: Эрмитов оператор А называется положительным, если "хÎV, (Ax, x) ³ 0. Если, кроме того, из (Ax, x) = 0 Þ x = , то А называют положительно определенным оператором (Обозначается: A ³ 0, A > 0 соответственно).

Тº. Каждое собственное значение положительного (положительно определенного)

оператора неотрицательно (положительно).

◀ Если λ – собственное значение А, то $x такой, что ||x|| = 1, (Ax, x) = l (было доказано), отсюда следует утверждение теоремы ▶

Def: Корнем m-й степени из оператора А называется такой оператор В, что В^m = A.

Тº. Если А – положительный эрмитов оператор (А ³ 0), то "mÎN существует

положительный эрмитов оператор

◀ Пусть l_k - собственные значения А (k =1, 2, 3,…, n) и {e_k} - ортонормированный собственный базис, (спектральное разложение) и при этом l_k ³ 0. Рассмотрим оператор . Изучим свойства оператора В. Оператор В:

а) эрмитов:

;

б) положителен:

;

в) . Теорема доказана. ▶

Примечание: В ортонормированном базисе {e_k} из собственных векторов матрица оператора А и матрица А^1/m имеют вид: ,

.