Интегральная теорема Муавра-Лапласа

Вспомним:

Переходя к пределу, при , заменяем , получим:

, (9)

где ; .

Для вычислении

я по этой формуле вводится функция Лапласа (интеграл вероятности):

, (10)

обладающая следующими свойствами:

а) – нечетная функция; б) – возрастает на R;

в) ; г) .

Учитывая свойства функции Лапласа, окончательно получим:

.

Теорема Пуассона (Закон редких событий)

Пусть у нас n₁ – число опытов; p – вероятность успехов, . В случае n₂ > n₁ считаем, что . Пусть при , , тогда по известной формуле оценим вероятность ровно k – успехов в схеме Бернулли:

– среднее значение.

Если требовать, чтобы: , ,

Если n – велико, а вероятность р – мала, то при npq < 10 Пуассон, иначе ЛТМЛ.

ПРИМЕР 1: Производится 4 независимых выстрела с вероятностью попадания р = 0.25. Какова вероятность событий: Р₄(0), Р₄(1), Р₄(2), Р₄(3), Р₄(4)?

РЕШЕНИЕ: . .

. .

ПРИМЕР 2: Вероятность появления бракованной детали р = 0.005. Какова

вероятность того, что в партии из 10000 деталей бракованных будет не более 70?

РЕШЕНИЕ: Схема испытаний Бернулли:

Вспомним интегральную теорему Муавра–Лапласа:

здесь m₁ = 0; m₂ = 70. Находим:

m₁ – np =-50, m₂ – np = 20.

, .

Окончательно получим: .