Еще раз о свойствах симметрии тензоров

Def: Если , то тензор называется симметричным по индексам и .

Если , то тензор называется антисимметричным (или кососимметричным ) по индексам и .

1º Симметрия и антисимметрия тензоров инвариантна относительно преобразования системы координат.

◀ (На примере тензора ранга 2)

- симметричность

- антисимметричность. ▶

 

В пространстве (размерности 3) антисимметричный и симметричный тензоры 2-го ранга имеют вид: и , т.е. симметричный тензор имеет только шесть независимых переменных, а антисимметричный и вовсе три независимых переменных.

Это дает возможность предложить следующую геометрическую интерпретацию симметричного и антисимметричного тензоров 2-го ранга в пространстве размерности 3:

 

2º. Каждому антисимметричному тензору 2-го ранга может быть поставлен в соответствие вектор и наоборот, каждый вектор связан с некоторым антисимметричным тензором 2-го ранга.

 

3º Любому не нулевому симметричному тензору 2-го ранга соответствует некоторая, и притом, единственная поверхность второго порядка определяемая уравнением: ( ).

 

4º Произведение симметрического и антисимметрического тензоров 2-го ранга с последующим двукратным свертыванием равно 0.

◀ Действительно : ,

Из симметрии : ,

индексы и немые, поэтому обозначим , а обозначим :

Из антисимметрии : , Т.е. . ▶

 

5º Любой тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, т.е. - тензора 2-го ранга

. ▶

 








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1056;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.