Еще раз о свойствах симметрии тензоров
Def: Если , то тензор называется симметричным по индексам и .
Если , то тензор называется антисимметричным (или кососимметричным ) по индексам и .
1º Симметрия и антисимметрия тензоров инвариантна относительно преобразования системы координат.
◀ (На примере тензора ранга 2)
- симметричность
- антисимметричность. ▶
В пространстве (размерности 3) антисимметричный и симметричный тензоры 2-го ранга имеют вид: и , т.е. симметричный тензор имеет только шесть независимых переменных, а антисимметричный и вовсе три независимых переменных.
Это дает возможность предложить следующую геометрическую интерпретацию симметричного и антисимметричного тензоров 2-го ранга в пространстве размерности 3:
2º. Каждому антисимметричному тензору 2-го ранга может быть поставлен в соответствие вектор и наоборот, каждый вектор связан с некоторым антисимметричным тензором 2-го ранга.
3º Любому не нулевому симметричному тензору 2-го ранга соответствует некоторая, и притом, единственная поверхность второго порядка определяемая уравнением: ( ).
4º Произведение симметрического и антисимметрического тензоров 2-го ранга с последующим двукратным свертыванием равно 0.
◀ Действительно : ,
Из симметрии : ,
индексы и немые, поэтому обозначим , а обозначим :
Из антисимметрии : , Т.е. . ▶
5º Любой тензор второго ранга может быть представлен в виде суммы симметричного и антисимметричного тензоров, т.е. - тензора 2-го ранга
◀ . ▶
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1056;