Взаимодействие между элементами симметрии в кристалле

В 1867г. А.В. Годолиным было доказано, что количество кристаллографических формул, которыми можно описать любой кристалл, существует в природе ограниченным числом 32 (табл. 3.1). Это доказательство он вывел на основании геометрических законов о взаимодействии элементов симметрии между собой.

Общая теорема: Наличие двух взаимодействующих элементов симметрии обязательно влечет за собой наличие третьего элемента, действие которого равно сумме действий первых двух элементов.

Теорема 1. Линии пересечения двух плоскостей симметрии есть ось симметрии, угол поворота которой в два раза больше угла между плоскостями.

Теорема 2. Пересечение двух осей симметрии 2-го порядка порождает третью ось, перпендикулярную к ним в точке пересечения. Угол поворота этой оси в два раза больше угла между пересекающимися осями.

Теорема 3. Взаимодействие двух элементов симметрии из троих: четной оси, перпендикулярной к ней плоскости и центра симметрии порождает третий, т.е. если имеется два из них, то обязательно будет третий.

Теорема 4. Если имеются ось L_n и перпендикулярно к ней проходит ось L_2, то число осей L₂ будет n.

Теорема 5. Если имеется ось L_n и параллельно ей проходит плоскость симметрии, то число таких плоскостей будет n. Кроме того, может быть еще одна перпендикулярная к оси плоскость симметрии.

Таблица 3.1 - Распределение 32 классов по сингониям и категориям

Категория	Сингония	Примитивный	Центральный	Планальный	Аксиальный	Планаксиальный	Инверсионно-примитивный	Инверсионно-планальный
Низшая	Триклинная	1	2 C
Моноклинная			3 P	4 L2	5 L2PC
Ромбическая			6 L22P	7 3L2	8 3L23PC
Средняя	Тригональная	9 L3	10 L3C	11 L33P	12 L33L2	13 L33L23PC
Тетрагональная	14 L4	15 L4PC	16 L44P	17 L44L2	18 L44L25PC	19	20 2L2 2P=3L2 2P
Гексагональная	21 L6	22 L6PC	23 L66P	24 L66L2	25 L66L27PC	26 =L3P	27 3L23P=L3 3L24P
Высшая	Кубическая	28 4L33L2	29 4L33L23PC	30 4L33L26P	31 3L44L36L2	32 3L44L36L29PC