Ортогональные системы векторов
Def: Векторы x, yÎV называются ортогональными, если (х, у) = 0.
1°. Если "yÎV, (x, y) = 0 Þ x = q.
◀ Т.к. (x, y) = 0 "y,положим у = х. Тогда (x, х) = 0 Þ x = q. ▶
Система векторов 
называется ортогональной, если (fi, fj) = 0 для i ¹ j (отметим, что (fi, fi) = |fi|2).
Система векторов 
называется ортонормированной, если 
.
2°. Ортонормированная система векторов – линейно независима.
◀ 
– ортонормированна. Пусть a1e1 + a2e2 + …+ anen = q. Умножим обе части равенства скалярно на ej и получим: в левой части 
, а в правой части (q, ej) = 0, т.е. aj = 0. Равенство aj = 0 для любого j означает линейную независимость ортогональной системы векторов. ▶
3°. В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов есть сумма произведений одноименных координат.
◀ – ортонормированный базис 
. Тогда
. ▶
Следствие. В ортонормированном базисе 
4°. В любом (конечномерном) евклидовом пространстве существует ортогональный базис.
◀ Пусть f1, f2, …, fn базис в V. Покажем, что по указанному базису можно построить ортогональный базис (этот процесс называют процессом ортогонализации).
а) e1 = f1;
б) e2 = f2 + ae1 и a найдем из условия (e1, f1) = 0,
0 = (e1, e2) = (e1, f2) + a(e1, e2) Þ a = 
;
в) e3 = f3 + ae1 + be2 и a, b найдем из условий (e3, e1) = (e3, e2) = 0,
0 = (e1, e3) = (f3, e1) + a(e1, e2) Þ a = 
,
0 = (e2, e3) = (f3, e2) + b(e2, e2) Þ b = 
;
………………
………………
г) 
. ▶
Нормируя векторы ортогонального базиса получим ортонормированный базис пространства, т.е.
5°. В каждом евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Процесс построения ортонормированного базиса, примененный в предыдущей теореме называется процессом ортогонализации Штурма.
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 901;