ЕщЕ действия над матрицами

а) Произведение матриц С_nk = A_nmB_mk определим по правилу: c_ij = (это правило в обиходе называется: умножение строка на столбец).

Пример: , но . Из определения произведения матриц ясно, что матрицы можно умножать не всегда, а только если количество элементов в строке 1^ой матрицы и количество элементов в столбце 2^ой матрицы совпадают. Кроме того, видно, что операция умножения матриц, вообще говоря, не коммутативна.

Можно отметить следующие свойства операции умножения матриц:

а1) А(ВС) = (АВ)С – ассоциативный закон;

а2) А(В + С) = АВ + АС – левый и

а3) (А + В)С = АС + ВС правый дистрибутивные законы.

Def: Если в линейном пространстве V над полем К, корректным образом, введена еще одна внутренняя операция, удовлетворяющая свойствам:

a⊙(х⊗у) = (a⊙х)⊗у = х⊗(a⊙у);

х⊗(у⊗z) = (х⊗у)⊗z; 3) (х ⊕ у)⊗z = х⊗z ⊕ у⊗z,

то линейное пространство над полем К называется алгеброй.

Таким образом, определив операцию умножения матриц, удовлетворяющую свойствам а1), а2), а3) мы можем говорить об алгебре матриц (для квадратных матриц).

б) Транспонирование матриц А^Т Û = а_ji.

Пример: .

Свойства операции транспонирования:

б1) (aА)^Т= aА^Т;

б2) (А + В)^Т= А^Т + В^Т;

б3) (А×В)^Т= А^ТВ^Т.

в) Для матриц с комплексными элементами – операция комплексного сопряжения. .

г) Для матриц с комплексными элементами – операция эрмитового сопряжения. (для операции эрмитового сопряжения, математики чаще употребляют значок А^*, а физики А⁺).