ЕвклидовО пространствО

Пусть V линейное пространство над полем R. Говорят, что в V введено скалярное произведение, если "x, y ÎV $a = (x, y)ÎR. такое, что:

а) (х, у) = (у, х); б) (lх, у) = l(х, у),lÎR.

в) (х + у, z) = (x, z) + (y, z); г) (х, х)≥ 0, при этом (х, х) = 0Û х = q.

Примеры скалярных произведений:

1) В арифметическом пространстве А_n с базисом {e₁, e₂, …, e_n} если , скалярное произведение можно вести по правилу: .

2) В пространстве C_{[a, b]} функций непрерывных на [a, b] по правилу:

.

Конечномерное вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством.