Длина вектора. Угол между векторами

а) Неравенство Коши-Буняковского (x, y)² £ (x, x)×(y, y).

◀ (ax – y, ax – y) = a²(x, x) – 2a(x, y) + (x, y) ³ 0, т.к. квадратный трехчлен относительно a сохраняет знак, то D £ 0 Þ 4(x, y)² – 4(x, x)(y, y) £ 0, (x, y)² £ (x, x)(y, y). ▶

Отметим, что равенство в неравенстве Коши-Буняковского достигается, если $a такое, что ax = y, т.е. когда х и у коллинеарны.

Частные случаи неравенства Коши-Буняковского:

а) , б) .

Длиной вектора х назовем величину |x| = . (Неравенство Коши-Буняковского тогда запишется так: |(x, y)|² £ | x|²×|y|²).

Расстоянием между двумя векторами х и у назовем величину

.

б) Неравенство треугольника: |x + y| £ | x| + |y|.

◀ |x + y|² = (x + y, x + y) = (x, x)² + 2(x, y) + (y, y)² = |x|² + 2(x, y) + + | y |² £ |x|² + 2|x|×|y| + | y|² = (|x| + |y|)². ▶

Углом между векторами х и у назовем угол jÎ[0, p] такой, что .

Из неравенства Коши-Буняковского следует, что | cosj | £ 1.