Линейные многообразия
Пусть L – подпространство V, x0ÎV.
Множество M = {x | x = x0 + y, yÎL} называется линейным многообразием в V.
О линейном многообразии M говорят, что оно параллельно подпространству L и обозначают M = x0 + L.
Если x0ÎL, то M º L и M является подпространством. Если x0ÎV, но x0ÏL то линейное многообразие подпространством не является.
29°. Линейное многообразие порождается сдвигом единственного L.
◀ Пусть M = x0 + L и M = x¢0 + L¢. Тогда "xÎM
x = x0 + y = x¢0 + y¢ Þ y = x¢0 + y¢, где yÎL, y¢ÎL¢. Так как это верно для "yÎL, положим y = q. Получим y¢ = x0 – x¢0 и т.к. y¢ÎL¢ Þ x0 – x¢0 ÎL¢ . Тогда Þ yÎL¢. Итак, если yÎL Þ yÎL¢ Þ L Ì L¢, аналогично L Ì L¢, тогда L = L¢ . ▶
Размерность линейного многообразия – это размерность соответствующего подпространства L, базис линейного многообразия – это базис соответствующего подпространства. Забавный нюанс – базис линейного многообразия самому многообразию, вообще говоря, не принадлежит.
1-мерное многообразие называется прямой, k-мерное многообразие называется k-мер-ной плоскостью, (n – 1)-мерное многообразие – называется гиперплоскостью (n = dimV).
§19. Действия с подпространствами
Пусть L1 и L2 – подпространства пространства V.
L = L1 + L2 Û L º {x | x=x1 + x2, x1ÎL1, x2ÎL2}
N = L1∩L2 Û N º {x | xÎL1 Ù xÎL2}
= L1∩L2 Û º {x | xÎL1 Ú xÎL2}.
Отметим, что теоретико-множественное объединение подпрост-ранств подпространством, вообще говоря, не является. Рисунок иллюстрирует, что сумма векторов из L1 + L2 не всегда принадлежит L1 + L2 .
30°. L = L1 + L2 и N = L1∩L2, где L1 и L2 – подпространства также являются подпростран-
ствами.
◀ В доказательстве элементы подпространств L1 и L2 будем снабжать соответствующими индексами.
1) L = L1 + L2: "x, yÎL x + y = (x1 + x2) + ( y1 + y2 )= (x1 + y1) +(x2 + y2);
xÎL:ax = a(x1+ x2) = ax1+ax2; qL = = qV ; (–х)=(–х)1+(–х)2 .
2) N = L1∩L2 : ; . ▶
31°. Формула Грасмана dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 – dimL1∩L2.
◀ Пусть dimL1∩L2 = k, dimL1 = k + l1, dimL2 = k + l2. Докажем, что dim(L1 + L2) = k + l1 + l2.
Пусть базис в L1∩L2. Дополним его до базиса L1: и до базиса L2: . Покажем, что , базис в L1 + L2. Полнота:
x = x1 + x2 = = .
Линейная независимость (от противного).
Пусть a1e1 + … + akek + b1f1 + … + + g1g1 + … + = q;
Из последнего равенства следует, что векторы стоящие в его левой и правой частях принадлежат L1∩L2 . Тогда уÎL1∩L2 можно записать в виде: y = d1e1 + … + dkek.Сравнивая y = a1e1 + … + akek + b1f1 + … + с y = d1e1 +… + dkek, в силу единственности разложения у, заключаем, что a1 = d1, a2 = d2, …, ak = dk; b1 = b2 = … = Подставляя bi= 0 в (*) получаем a1e1 + … + akek + g1g1 + …+ = q и, в силу линейной независимости векторов e1, е2, …, ek, g1, g2,…, получаем: a1 = a2 =… = ak = g1 =… = = 0. ▶
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1605;