Линейные многообразия

 

Пусть L – подпространство V, x0ÎV.

Множество M = {x | x = x0 + y, yÎL} называется линейным многообразием в V.

О линейном многообразии M говорят, что оно параллельно подпространству L и обозначают M = x0 + L.

Если x0ÎL, то M º L и M является подпространством. Если x0ÎV, но x0ÏL то линейное многообразие подпространством не является.

29°. Линейное многообразие порождается сдвигом единственного L.

◀ Пусть M = x0 + L и M = 0 + . Тогда "xÎM

x = x0 + y = 0 + Þ y = 0 + , где yÎL, Î. Так как это верно для "yÎL, положим y = q. Получим = x00 и т.к. Î Þ x00 Î . Тогда Þ yÎ. Итак, если yÎL Þ yÎ Þ L Ì , аналогично L Ì , тогда L = . ▶

Размерность линейного многообразия – это размерность соответствующего подпространства L, базис линейного многообразия – это базис соответствующего подпространства. Забавный нюанс – базис линейного многообразия самому многообразию, вообще говоря, не принадлежит.

1-мерное многообразие называется прямой, k-мерное многообразие называется k-мер-ной плоскостью, (n – 1)-мерное многообразие – называется гиперплоскостью (n = dimV).

 

§19. Действия с подпространствами

 

Пусть L1 и L2 – подпространства пространства V.

L = L1 + L2 Û L º {x | x=x1 + x2, x1ÎL1, x2ÎL2}

N = L1L2 Û N º {x | xÎL1 Ù xÎL2}

= L1L2 Û º {x | xÎL1 Ú xÎL2}.

Отметим, что теоретико-множественное объединение подпрост-ранств подпространством, вообще говоря, не является. Рисунок иллюстрирует, что сумма векторов из L1 + L2 не всегда принадлежит L1 + L2 .

30°. L = L1 + L2 и N = L1L2, где L1 и L2 – подпространства также являются подпростран-

ствами.

◀ В доказательстве элементы подпространств L1 и L2 будем снабжать соответствующими индексами.

1) L = L1 + L2: "x, yÎL x + y = (x1 + x2) + ( y1 + y2 )= (x1 + y1) +(x2 + y2);

xÎL:ax = a(x1+ x2) = ax1+ax2; qL = = qV ; (–х)=(–х)1+(–х)2 .

2) N = L1L2 : ; . ▶

 

31°. Формула Грасмана dim(L1 + L2) = dimL1 + dimL2 – dimL1L2.

◀ Пусть dimL1L2 = k, dimL1 = k + l1, dimL2 = k + l2. Докажем, что dim(L1 + L2) = k + l1 + l2.

Пусть базис в L1L2. Дополним его до базиса L1: и до базиса L2: . Покажем, что , базис в L1 + L2. Полнота:

x = x1 + x2 = = .

Линейная независимость (от противного).

Пусть a1e1 + … + akek + b1f1 + … + + g1g1 + … + = q;

Из последнего равенства следует, что векторы стоящие в его левой и правой частях принадлежат L1L2 . Тогда уÎL1L2 можно записать в виде: y = d1e1 + … + dkek.Сравнивая y = a1e1 + … + akek + b1f1 + … + с y = d1e1 +… + dkek, в силу единственности разложения у, заключаем, что a1 = d1, a2 = d2, …, ak = dk; b1 = b2 = … = Подставляя bi= 0 в (*) получаем a1e1 + … + akek + g1g1 + …+ = q и, в силу линейной независимости векторов e1, е2, …, ek, g1, g2,…, получаем: a1 = a2 =… = ak = g1 =… = = 0. ▶

 








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1605;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.