Координаты вектора В ЗАДАННОМ БАЗИСе

23°. Пусть V – линейное пространство, dimV = n и – базис в V. Тогда "xÎV существует единственный набор , a_iÎK такой, что x = .

◀ Представление x = следует из полноты .

Единственность. Пусть x = и x = . Тогда q = x – x = – = = и, следовательно, в силу линейной независимости

, "i a_i –a¢_i = 0 т.е. a_i =a¢_i. ▶

Теперь ясно, что если в пространстве V задан базис , то каждому вектору xÎV можно поставить в соответствие (причем единственным образом) набор чисел a₁,a₂, …, a_nÎK. Это записывают так: x ↔(a₁,a₂, …, a_n) или x = (a₁,a₂, …, a_n). Величины a_i называются координатами вектора x в базисе . При этом, (что очень важно), если x = (a₁,a₂, …, a_n) и y = (b₁, b₂, …, b_n), то x⊕ y = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, … , a_n+ b_n) и g⊙ x = = (ga₁, ga₂, …, ga_n), т.е. операции ⊕и ⊙ заменены покоординатным сложением и умножением на элемент внешнего поля K.

Другими словами, введение понятия базиса векторного пространства V над полем K и координат векторов в этом базисе абстрактные операции сложения для элементов линейного пространства и умножения их на скаляры из внешнего поля K позволяет свести к операциям покоординатного сложения и умножения на скаляр, т. е. к умножению и сложению в поле K.