БАЗИС ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА. ЕГО РАЗМЕРНОСТЬ
Система векторов e1, e2, …, enÎV называется базисом пространства V, если эта система векторов линейно независима и полна в V.
17°. Минимальный полный в V набор векторов является базисом.
◀ Докажем линейную независимость e1, e2, …, en.
Если они линейно зависимы, то, по крайней мере, один из векторов может быть записан как линейная комбинация остальных: en = a1e1 + a2e2 +…+ an–1en–1, следовательно, e1, e2, …, en – 1, полный набор, что противоречит минимальности исходного набора. ▶
18°. Максимальный линейно независимый в V набор является базисом.
◀ Докажем полноту набора e1, e2, … , en. Допустим, набор не полон. Тогда $xÎV который не выражается как линейная комбинация e1, e2, … , en, тогда система x, e1, e2, … , en линейно независима, что противоречит максимальности исходного набора. ▶
19°. Всякое линейное пространство (кроме V º {q}) имеет базис.
◀ Доказательство можно провести построением: а) минимального полного набора или б) максимального линейно независимого набора. ▶
20°. Все базисы линейного пространства содержат одно и то же количество векторов.
◀ Пусть в пространстве V имеется два базиса 
и 
:
1) – полный, а – линейно независимый, тогда m ≤ n ( т. 16°);
2) – линейно независимый, а – полный, тогда n ≤ m (т. 16°) Получаем m = n. ▶
Количество векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dimV.
21°. Чтобы линейно независимая система векторов была базисом необходимо и достаточно, чтобы количество векторов в этой системе равнялось размерности пространства
n = dimV. Доказать самостоятельно.
22°. Чтобы полная система векторов была базисом, необходимо и достаточно, чтобы количество векторов в этой системе равнялось размерности пространства n = dimV.
Доказать самостоятельно.
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 1266;