ПОЛНЫЕ СИСТЕМЫ ВЕКТОРОВ

 

Если в пространстве V существует конечный набор векторов такой что, ℒ º V, то система векторов называется полной системой в V, а пространство называется конечномерным. Таким образом, система векторов e1, e2, …, enÎV называется полной в V системой, т.е. если

"хÎV $ a1,a2, … anÎK такие, что x = a1e1 + a2e2 + … + anen.

Если в пространстве V не существует конечной полной системы (а полная существует всегда – например, множество всех векторов пространства V), то пространство V называется бесконечномерным.

. Если полная в V система векторов и y ÎV, то {e1, e2, …, en, y} – также полная система.

◀ Достаточно в линейных комбинациях коэффициент перед y брать равным 0. ▶

10°. Пусть {e1, e2, …, en} полный в V набор векторов, т.е. ℒ(e1, e2, …, en) º V и пусть $ a1,a2, … an, такое, что en = a1e1 + a2e2 + … + an –1en –1. Тогда набор e1, e2 , …, en –1, тоже полный, т.е. ℒ(e1, e2 , …, en) º ℒ(e1, e2 , …, en –1) º V.

◀ {e1, e2, …, en} – полный Þ"хÎV $b1, b1, …, bn, что x = b1e1+ b2e2 +…+ bn en=

= b1e1 + b2e2 + … + bn –1en –1 + bn(a1e1 + a2e2 + … + an –1en –1) =

= (b1 + bna1) e1 + (b2 + bna2) e2 + … + ( bn –1 + bnan –1) en –1 что и требовалось доказать. ▶

Используя, основанный на теореме 10°, процесс «прополки» (выбрасывание векторов, являющихся линейными комбинациями других векторов системы) можно построить минимальный полный набор векторов в пространстве V.

 








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 2526;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.004 сек.