ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫМИ НАБОРАМИ ВЕКТОРОВ

16°. Если e₁, e₂, …, e_m – линейно независимая, а f₁, f₂, …, f_n – полная системы векторов, то m £ n.

◀ Доказательство теоремы проведем от противного.

Допустим, что m > n (т.е. в полном наборе меньше векторов, чем в линейно независимом).

1) f₁, f₂, …, f_n – полная система. Тогда e₁, f₁, f₂, …, f_n – полная и линейно зависимая, ибо e₁выражается через остальные e₁ = b₁f₁+ b₂f₂ + … + b_nf_n.

При этом, по меньшей мере, одно из b_i ¹ 0, ибо в противном случае e₁= q, что противоречит линейной независимости векторов. Не ограничивая общности можно считать, что b₁¹ 0, тогда f₁ выражается через остальные векторы и его можно удалить из полной системы, не нарушая ее полноты.

Получена новая полная система векторов e₁, f₂, f₃, …, f_n.

2) e₁, f₂, …, f_n – полная система. Тогда e₁, e₂, f₂, …, f_n – полная и линейно зависимая, ибо e₂выражается через полную систему e₂ = a₁e₁ + b₂f₂+ b₂f₂ + …+ + b_nf_n. При этом, по меньшей мере, одно из b_i ¹ 0, ибо в противном случае вектор e₂ выразится через вектор e₁, что противоречит линейной независимости системы e₁, e₂, …, e_m. Пусть b₂ ¹ 0, тогда f₂ может быть выражено через остальные и его можно «прополоть».

Получится новая полная система векторов e₁, e₂, f₃, f₄, …, f_n.

3). Аналогично последовательно построим полные системы векторов

e₁, e₂, e₃, f₄, f₅, …, f_n

e₁, e₂, e₃, e₄ , f₅, …, f_n

_{…………………………………}

e₁, e₂, e₃, e₄ , e₅ , …, e_n.

4). Полнота системы e₁, e₂, e₃, …, e_n противоречит линейной независимости более широкой системы e₁, e₂,…, e_{n ,} e_n+1, …, e_m. Полученное противоречие доказывает теорему. ▶