Изоморфизм линейных пространств

Видимая необъятность множества всех n-мерных пространств над данным полем, казалось бы, является препятствием для построения и развития сколько-нибудь общей теории таких пространств.

Оказывается, это не так. Мы сейчас покажем, что над данным полем существует в некотором смысле , лишь одно пространство данной размерности.

Def:Два пространства V и V¢ называются изоморфными, если между их элементами установлено взаимно однозначное соответствие x ↔ x¢. Причем такое, что, если x ↔ x¢, y ↔ y¢, то x + y ↔ x¢ + y¢ и ax ↔ax¢.

24°. Два конечномерных линейных пространства над одним и тем же полем K изоморфны тогда и только тогда, когда dimV = dimV¢.

◀ Необходимость.

а) при изоморфизме q « q¢. Пусть qÎV нейтральный элемент в V и x ↔ x¢, q « q¢. х = q + х « q¢ + x¢. Учитывая, что x ↔ x¢ Þ q¢ + x¢ = x¢, т.е. q¢ нейтрален в V¢.

б) Если V и V¢ изоморфны и {a₁, … , a_n}↔ {a¢₁, … , a¢_n}, то из линейной независимости {a_i} следует линейная независимость {a¢_i}.

Действительно, пусть a₁a¢₁+ …+ a_n a¢_n =q¢ ↔a₁a₁+ …+ a_n a_n =qÞ a₁= a₂= …= = a_n = 0. Итак, максимальное число линейно независимых векторов в изоморфных пространствах совпадает, т.е. dimV = dimV¢.

Достаточность. Пусть dimV = dimV¢ = n, – базис в V; , базис в V¢, установим соответствие e₁↔ e¢₁, e₁↔ e¢₂, …, e_n ↔ e¢_n. Тогда x = S a_i e_i ↔ x¢ = S a_i e¢_i; ax = Saa_i e_i ↔ ↔ S aa_i e¢_i = ax¢; x + y = S (a_i + b_i)e_i ↔ S (a_i + b_i)e¢_i . Таким образом, построенное соответствие есть изоморфизм пространств V и V¢. ▶

Итак, изучение всех линейных пространств dimV = n можно свести к изучению А_n – арифметического пространства той же размерности: xÎА_n → x = (a₁, a₂, …, a_n).