ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ

1. Множество многочленов P_n(x) степени не выше n.

2. Множество n-членных последовательностей (с почленным сложением и умножением на скаляр).

3. Множество функций C_{[а, b]}непрерывных на [а, b] и с поточечным сложением и умножением на скаляр.

4. Множество функций, заданных на [а, b] и обращающихся в 0 в некоторой фиксированной внутренней точке c: f (c) = 0 и с поточечными операциями сложения и умножения на скаляр.

5. Множество R⁺, если x ⊕ y º x ´ y, a⊙x º x^a.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОДПРОСТРАНСТВА

Пусть множество W является подмножеством линейного пространства V (W Ì V) и такое, что

а) "x, yÎW Þ x ⊕ yÎW;

б) "xÎW, "aÎK Þ a ⊙ xÎW.

Операции сложения и умножения здесь те же, что и в пространстве V (они называются индуцированными пространством V).

Такое множество W называется подпространством пространства V.

7°. Подпространство W само является пространством.

◀ Для доказательства достаточно доказать существование нейтрального элемента и противоположного. Равенства 0⊙x = q и (–1)⊙х = –х доказывают необходимое. ▶

Подпространство, состоящее только из нейтрального элемента {q}и подпространство, совпадающее с самим пространством V, называются тривиальными подпространствами пространства V.

§9. ЛИНЕЙНАЯ КОМБИНАЦИЯ ВЕКТОРОВ.