Примеры. 1. Множество вещественных (целых, комплексных, рациональных) чисел является абелевой группой по сложению.

1. Множество вещественных (целых, комплексных, рациональных) чисел является абелевой группой по сложению.

2. Множество вещественных чисел с исключенным нулем является группой по умножению.

3. Рассмотрим множество векторов единичной длины на плоскости, и исходящих из начала координат. Такой вектор характеризуется углом a, который он образует с положитетельным направлением оси абсцисс.

Пусть имеется пара векторов x и y, характеризующихся углами a_х и a_y. Поставим этой паре в соответствие вектор z, характеризующийся углом a_х+ a_y. Указанное множество векторов по операции, введенной выше, образует группу. Эта группа называется группой вращения единичного вектора.

ПОЛЕ

Пусть в множестве K корректным образом определены две внутренние операции, т.е.

1) "a, bÎK $ c = a ⊕ bÎK; 2) "a, bÎK $ d = a ⊗ bÎK;

и эти операции удовлетворяют следующим свойствам:

а¹) a⊕b = b⊕a – коммутативность; а²) a ⊗ b = b ⊗ a;

б¹) (a⊕b)⊕с = a⊕(b⊕с)– ассоциативность; б²)(a ⊗ b)⊗ с = a ⊗ (b ⊗ с);

в¹) $qÎK а ⊕ q = а – нейтральный; в²) $еÎK а ⊗ е = а;

г¹) "аÎK $bÎK (a⊕b)=q – противоположный;

г²) "аÎK (a ¹q) $bÎK a⊗b = е, и, кроме того,

д) (a ⊕ b)⊗с = a ⊗ c ⊕ b ⊗ с – операция ⊗дистрибутивна по операции ⊕.

Множество K, с так введенными операциями, называется полем.

Отметим, что поле по операции 1) является абелевой группой (свойства а¹, б¹, в¹, г¹). Кроме того, поле по операции 2) после исключения из множества элемента нейтрального по операции 1), является абелевой группой (свойства а²,б², в², г²) и, кроме того, операции 1) и 2) связаны законом дистрибутивности операции 2) по операции 1). (Так называемый 1-й дистрибутивный закон). Отметим, что операция 1), вообще говоря, не дистрибутивна по операции 2).