Примеры. 1. Множество вещественных (целых, комплексных, рациональных) чисел является абелевой группой по сложению.
1. Множество вещественных (целых, комплексных, рациональных) чисел является абелевой группой по сложению.
2. Множество вещественных чисел с исключенным нулем является группой по умножению.
3. Рассмотрим множество векторов единичной длины на плоскости, и исходящих из начала координат. Такой вектор характеризуется углом a, который он образует с положитетельным направлением оси абсцисс.
Пусть имеется пара векторов x и y, характеризующихся углами aх и ay. Поставим этой паре в соответствие вектор z, характеризующийся углом aх+ ay. Указанное множество векторов по операции, введенной выше, образует группу. Эта группа называется группой вращения единичного вектора.
ПОЛЕ
Пусть в множестве K корректным образом определены две внутренние операции, т.е.
1) "a, bÎK $ c = a ⊕ bÎK; 2) "a, bÎK $ d = a ⊗ bÎK;
и эти операции удовлетворяют следующим свойствам:
а1) a⊕b = b⊕a – коммутативность; а2) a ⊗ b = b ⊗ a;
б1) (a⊕b)⊕с = a⊕(b⊕с)– ассоциативность; б2)(a ⊗ b)⊗ с = a ⊗ (b ⊗ с);
в1) $qÎK а ⊕ q = а – нейтральный; в2) $еÎK а ⊗ е = а;
г1) "аÎK $bÎK (a⊕b)=q – противоположный;
г2) "аÎK (a ¹q) $bÎK a⊗b = е, и, кроме того,
д) (a ⊕ b)⊗с = a ⊗ c ⊕ b ⊗ с – операция ⊗дистрибутивна по операции ⊕.
Множество K, с так введенными операциями, называется полем.
Отметим, что поле по операции 1) является абелевой группой (свойства а1, б1, в1, г1). Кроме того, поле по операции 2) после исключения из множества элемента нейтрального по операции 1), является абелевой группой (свойства а2,б2, в2, г2) и, кроме того, операции 1) и 2) связаны законом дистрибутивности операции 2) по операции 1). (Так называемый 1-й дистрибутивный закон). Отметим, что операция 1), вообще говоря, не дистрибутивна по операции 2).
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 892;