Билинейные функционалы
Функционал j(х, у) называется симметричным, если j(х, y) = j(y, х). (При этом j(ei, ej) = j(ej, ei) т.е. uij = uji).
Функционал j(х, y) называется антисимметричным, если j(х, y) = –j(y, х) (При этом j(ei, ej) = – j(ej, ei) т.е. uij = –uji).
Если в заданной билинейной форме j(х, y) положить х = у, то получим частный случай билинейной формы – квадратичную форму.
2°. Любой билинейный функционал можно представить в виде суммы симметричного и антисимметричного функционалов.
◀ js(х, y) = (j(х, у) + j(y, х))/2, jА(х, y) = (j(х, у) – j(y, х))/2. ▶
3°. Каждому билинейному симметричному функционалу (билинейной форме) можно поставить в соответствие квадратичную форму и наоборот.
◀ *) j(х, y) = j(y, х) Û j(х, х);
**) j(х + y, х + у) = j(х, х) + j(х, y) + j(y, х) + j(у, у) = j(х, х) + 2j(y, х) + j(у, у) Þ
Þ j(х, у) = [j(х + y, х + у) – j(х, х) – j(у, у)]. ▶
4°. Если билинейный функционал антисимметричен, то соответствующая ему квадратичная форма равна нулю.
◀ j(х, y) = –j(y, х). Полагая в данном равенстве y=x получим j(х, х) = –j(х, х) = 0. ▶
Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 881;