Определитель квадратной матрицЫ

Пусть задана квадратная матрица .

Определителем (detA) квадратной матрицы А со столбцами x_i = называется функционал j(x₁, x₂, …, x_n) относительно столбцов этой матрицы, которой а) линеен по каждому аргументу (полилинеен);

б) абсолютно антисимметричен (антисимметричен по любой паре аргументов);

в) выполнено условие нормировки .

Таким образом:

5°. .

Например: для определителя 3^го порядка в сумму входят 3! слагаемых a₁₁a₂₂a₃₃, a₁₂a₂₃a₃₁, a₁₃a₂₁a₃₂, a₁₃a₂₂a₃₁, a₁₂a₂₁a₃₃ и a₁₁a₂₃a₃₂. Знаки этих слагаемых определяются четностью перестановок: , , , , , . Количество беспорядков в этих перестановках соответственно равно: 0, 2, 2, 3,1,1. Первые три перестановки четные, последние три нечетные, поэтому получаем уже известную из курса аналитической геометрии формулу:

= a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₂a₂₁a₃₃ – a₁₁a₂₃a₃₂.

Аналогично можно выписать непосредственно формулу вычисления определителя 4^го порядка (24 слагаемых), 5^го порядка (120 слагаемых). Ясно, что с увеличением порядка определителя его вычисление по определению становится чрезвычайно обременительным, если не невозможным.

Изучение свойств определителей позволит нам обойти эту трудность.