Теорема Лапласа

Пусть задана квадратная матрица A_nn. Выберем в матрице A k-строк i₁, i₂, …, i_k и k-столбцов j_1, j_2, ... j_k. Определитель матрицы образованной элементами, стоящими на пересечении выбранных столбцов и строк называется минором k^го порядка и обозначается _. Если из матрицы А вычеркнуть выбранные строки и столбцы то определитель оставшейся матрицы называется минором дополнительным к минору и обозначается .

Величина называется алгебраическим дополнением к минору и обозначается .

18°. Теорема Лапласа.

detA = .

Суммирование здесь производится по всем минорам k^го порядка, стоящим в выбранных k-строках или в выбранных k–столбцах. ◀ ▶

Пример. Вычислить следующий определитель раскрывая его по минорам второго порядка, стоящим во второй и третьей строках определителя:

Существует шесть различных миноров второго порядка, стоящих в указанных строках:

M₁₂= ; M₁₃= ; M₁₄= ; M₂₃= ; M₂₄= ; M₃₄= .

Дополнительные к ним миноры:

; ; ; ; ; .

Найдем соответствующие алгебраические дополнения:

A₁₂ = (-1)^2+3+3+4 M₃₄ = M₃₄; A₁₃ = (-1)^2+3+2+4 M₂₄ = -M₂₄; A₁₄ = (-1)^2+3+2+3 M₂₃ = M₂₃; A₂₃ = (-1)^2+3+1+4 M₁₄ = M₁₄; A₂₄ = (-1)^2+3+1+3 M₁₃ = -M₁₃; A₃₄ = (-1)^2+3+1+2 M₁₂ = M₁₂.

Теперь, используя теорему Лапласа, можно записать:

D = M₁₂A₁₂ + M₁₃A₁₃ + M₁₄A₁₄ + M₂₃A₂₃ + M₂₄A₂₄ + M₃₄A₃₄ = M₁₂M₃₄ - M₁₃M₂₄ + M₁₄M₂₃ + + M₂₃M₁₄ - M₂₄M₁₃ + M₃₄M₁₂ = 2 ( M₁₂M₃₄ - M₁₃M₂₄ + M₁₄M₂₃ ) = 2 (-13×54+12×45-9×11) = –522.