Метод представления определителя в виде суммы определителей.

Вычислить определитель: .

Заметив, что элементы первого столбца представлены как суммы двух чисел, разложим определитель в сумму двух определителей:

.

Теперь каждый из полученных определителей разложим в сумму двух определителей, воспользовавшись тем, что элементы вторых столбцов у них также представлены в виде сумм, и т.д. Проделав это, получим (n > 2), что строки полученных определителей будут такими: a_i, a_i, … _, a_i или b_1,b_2,… _,b_n . Строки 1^го типа пропорциональны, 2^го типа равны и, следовательно, все слагаемые равны нулю. Следовательно: D_n = 0 ("n > 2).

Для определителей такого же типа, но первого и второго порядков получим:

D₁ = | a₁+ b₁ | = a₁+ b₁; D₂ = =

= a₁b₂– a₂b₂+ b₁a₂ – a₁b₁ = (a₁ – a₂)b₂ + (a₂ + a₁)b₁ = (a₁ – a₂)(b₂ – b₁).

Метод рекуррентных (возвратных) соотношений.

Вычислить определитель n–го порядка: .

Разлагая определитель по элементам первой строки, получим рекурентное соотношение: D_n= .

Разложив определитель в правой части соотношения по первому столбцу, запишем новое рекурентное соотношение: D_n = 5D_n–1 – 6D_n–2.

Представляя это соотношение в виде: D_n – 2D_n–1 = 3(D_n–1 – 2D_n–2) и вводя обозначение:

Т_n = D_n – 2D_n–1 получим: Т_n = 3Т_n–1 – 3²Т_n–2 = … =3 ^n-2T₂=3ⁿ.

Аналогично, записав рекурентное соотношение в виде: D_n – 3D_n–1 = 2(D_n–1 – 3D_n–2) и обозначая: V_n = D_n – 3D_n–1 получим V_n = 2V_n=1 = 2²V_n–2=…= 2ⁿ .

В общем случае, для рекуррентных соотношений типа: D_n = pD_{n – 1} + qD_{n – 2 .}можно проделать следующее: пусть a и b корни уравнения x² – px – q = 0, т.е. p = a + b,

q = –ab. Тогда D_n = aD_{n – 1} + bD_{n –1} – abD_{n – 2}^; D_n – aD_{n -–1} = b(D_{n – 1} – aD_{n – 2}), т.е. S_{n =} bS_{n – 1} или D_n – bD_{n -–1} = a(D_{n – 1} – bD_{n – 2}), т.е. V_{n =} bV_{n – 1} .

Аналогично можно поступить и в более сложных рекуррентных соотношениях.