Метод изменения элементов определителя.

19°. Если ко всем элементам определителя D добавить одно и то же число x, то определитель увеличится на произведение числа x на сумму алгебраических дополнений всех элементов определителя D.

◀ Пусть D = | a_ij |; D¢ = | a_ij + x |. Разложим D¢ в сумму двух определителей относительно первой строки, каждый из них на два относительно второй строки и т.д. Слагаемые, содержащие более одной строки элементов x, равны нулю.

Слагаемые, содержащие одну строку элементов x, разложим по этой строке. Получим D¢ = D + x.▶

а). . Вычтем из всех элементов определителя число x

. Тогда D_n = (a₁ – x)(a₂ – x)…(a_n – x) + x = (a₁ – x)(a₂ – x)...

…(a_n – x) + x = (a₁ – x) (a₂ – x) … (a_n – x) + x = (a₁ – x )( a₂– x )…( a_n– x ) +

+ x =

= x(a₁ – x) (a₂ – x) … (a_n – x) .