Обратная матрица

Если для квадратной матрицы А существует матрица D, такая что DА = АD = Е, то матрица D называется матрицей обратной к матрице А и обозначается: D = A^–1.

1°. Если A^–1 существует, то она единственна.

◀ . ▶

2°. (A^–1)^–1 = A.◀ A = AE = A(A^–1(A^–1)^–1) = (AA^–1) (A^–1)^–1 = E(A^–1)^–1 = (A^–1)^–1. ▶

3°. (AB)^–1 = B^–1A^–1.

◀ B^–1A^–1 = B^–1A^–1E = B^–1A^–1((AB)×(AB)^–1(AB)) = B^–1(A^–1A)B×(AB)^–1 = B^–1B(AB)^–1 = (AB)^–1. ▶

4°. det(A^–1) = (detA)^–1. ◀ AA^–1 = E Þ detAA^–1 = detA ×det(A^–1) = 1 Þ det(А^–1) = . ▶ 5°. Чтобы квадратная матрица А имела обратную А^–1 необходимо и достаточно, чтобы detA ¹ 0.

Если detA ¹ 0, то матрица А называется невырожденной.

◀ Необходимость. $А^–1 Þ det(A^–1) = Þ detA ¹ 0.

Достаточность. Возьмем матицу D с элементами

Þ (DA)_ij = . ▶

Доказательство теоремы одновременно дало и способ построения матрицы, обратной к невырожденной матрице А. Чтобы построить матрицу обратную к А, надо:

найдем detA.Если detA = 0, то А^–1 не существует. Если detA ¹ 0, то продолжаем построение обратной матрицы;

для элементов a_ij матрицы А найдем их алгебраические дополнения A_ij;

разделим матрицу из алгебраических дополнений на detA;

транспонировав полученную матрицу, получим матрицу А^–1.

Пример: : 1. detA = 2. 2. А^–1 = .

В идеологии обратной матрицы решение квадратных систем с невырожденной матрицей становится весьма прозрачным: Ax = b Þ A^–1Ax = A^–1b Þ x = A^–1b.

Есть и другие способы нахождения обратной матрицы.

А.

Запишем матрицу А, а справа от нее, через вертикальную черту, запишем единичную матрицу. Получим матрицу n – строк, 2n – столбцов;

В получившейся матрице с помощью применения к строкам (и только) преобразований не изменяющих ранг матрицы образуем на месте матрицы А – единичную матрицу.

На месте единичной матрицы будет стоять А^–1.

Б.

Справа от матрицы припишем единичную матрицу Е, а снизу припишем матрицу (–Е). В правом нижнем углу поставим нулевую матрицу.

Используя операции только над строками, получившейся матрицы, на месте матрицы (–Е), образуем нулевую матрицу.

Тогда, в правом нижнем углу будет стоять А^–1.

В.

Для обращения матрицы, имеющей блочную структуру, т.е. матрицы вида: , где А – квадратная матрица порядка n´n, а D – квадратная матрица q´q, справедливы следующие формулы:

Первая формула Фробениуса (если detA ¹ 0):

, где H = D – CA^–1B.

Вторая формула Фробениуса (если detD ¹ 0):

, где K = A – BD^–1C.