Ранг матрицы

Имеется матрица А_mn порядка m´n и не все элементы ее равны 0. ($a_ij ¹ 0).

Пусть существует минор r^го порядка, который не равен нулю, и при этом любой минор порядка большего r равен нулю, т.е. $M_r ¹ 0, "M_{r + i} = 0 (i =1, 2,… , n – r) .

Минор M_r называется базисным минором матрицы А (он необязательно единственный), строки и столбцы, выбором которых получен минор называются базисными строками и столбцами, число r называется рангом матрицы А: r = rangA. Другими словами rangА – это наибольший порядок отличного от нуля минора этой матрицы.

6°. Теорема о базисном миноре. Строки базисного минора – линейно независимы, и любая строка матрицы А является линейной комбинацией базисных строк.

Примечание: Теорема может быть сформулирована и доказана не только для строк, но и для столбцов.

◀ 1) Пусть rangA = r. Не ограничивая общности можно считать, что первые r строк матрицы a₁, a₂,…, a_r – базисные. Докажем их линейную независимость.

Пусть a₁a₁ + a₂a₂ +…+ a_ra_r = q и пусть a₁ ¹ 0. Тогда a₁ = , т.е. первая строка является линейной комбинацией остальных, но тогда detM_r = 0, что противоречит базисности минора M_r .

Значит a₁ = a₂ =…= a_r = 0 и, следовательно, базисные строки матрицы линейно независимы.

2) Пусть rangA = r и базисный минор M_r стоит в левом верхнем углу:

.

Рассмотрим определитель (r + 1)^го порядка, состоящий из подчеркнутых элементов: A_r+1.

По условию базисности минора M_r detA_r+1 = 0.

Разложим определитель A_r+1 по последнему столбцу. a_1lA_1l + … + a_rlA_rl + a_klA_kl = 0; При этом A_kl ¹ 0 (это detM_r). Тогда .

Обозначим ; ; A_kl – это минор M_r и не зависит ни от k,ни от l. A_il — не зависит от l (при вычитании выбрасывается). Тогда c_1, c_2, ... c_r не зависит от l,а зависит только от k. Имеем a_kl = с₁a_1l + с₂a_2l +...+ c_ra_rl. Последнее равенство показывает, что элементы k^й строки выражены через элементы первых r строк. ▶

Из этой теоремы следует, что:

7°. detA = 0 тогда и только тогда, когда его строки (столбцы) линейно зависимы.

8°. rangA = dimℒ(a_1, a_2, … , a_m) = dimℒ(s_1, s_2, … , s_n); a_1, a_2, … , a_m – строки; s_1, s_2, … , s_n – столбцы.