Однородные системы

Рассматривается однородная система линейных уравнений с n-неизвестными:

Ах =0 х(х_1,x₂, …, x_n).

9°. Если rangA = n, то система имеет только тривиальное решение (х₁ = x₂ = …= x_n = 0);

Если rangA < n, то система кроме тривиальных имеет и не тривиальные решения.

◀ Запишем систему Ах = 0 как линейную комбинацию столбцов: x₁S₁+ x₂S₂+…+ x_nS_n =0 .

1) rangA = n Þ столбцы S₁, S₂, …, S_n линейно независимы х₁ = x₂ = …= x_n = 0 (как коэффициенты тривиальной линейной комбинации линейно независимых векторов).

2) rangA = r < n Þ S₁, S₂, …, S_n – линейно зависимы Þ $ ненулевой набор х₁, x₂,…, x_n,такой что x₁S₁+ x₂S₂+… + x_nS_n =0. ▶

10°. Если с⁽¹⁾ и с⁽²⁾ два различных решения однородной системы Ах = 0, то "a₁, a₂ÎК a₁с⁽¹⁾+ a₂с⁽²⁾тоже решение той же системы.

◀ Справедливость этого утверждения следует из известного свойства матриц

А(a₁ с⁽¹⁾+ a₂с⁽²⁾) = a₁А с⁽¹⁾+ a₂Ас ⁽²⁾= 0. ▶

По сути дела теперь можно утверждать, что множество решений однородной системы линейных уравнений образует линейное пространство L.

11°. Размерность пространства L решений линейной однородной системы уравнений Ах = 0 с n-неизвестными удовлетворяет соотношению: dimL = n – rangA.

◀ Пусть rangA = r и S₁, S_{2, …,} S_r – базисные столбцы матрицы А.

Записав систему Ах = 0в виде x₁S₁+ x₂S₂+…+ x_rS_r = –x_r+1S_r+1– x_r+2S_r+2–… – x_nS_n, отметим, что по набору x_r+1, x_r+2, …, x_n, всегда, и притом однозначно, находятся x₁, x₂, …, x_r (по теореме Крамера).

Пусть ( c₁, c₂, …, c_r, c_r+1, …, c_n) решение системы Ах = 0.Каждому такому вектору из L поставим в соответствие вектор (c_r+1, c_r+2,…, c_n) из К_n–r.Это соответствие взаимно однозначно в силу сделанного выше замечания. Соблюдается это соответствие и при сложении векторов, и при умножении вектора на скаляр. Таким образом пространства L и К_n–r изоморфны и, следовательно, dimL = dimК_n–r = n – r = n – rangA. ▶

Доказанная только что теорема дает и способ построения базиса в L .

Записав систему Ах = 0в виде x₁S₁+ x₂S₂+ … + x_rS_r = – x_r+1S_r+1– x_r+2S_r+2 –… – x_nS_n.

1) Положим x_r+1 =1, x_r+2 = x_r+3=… = x_n = 0. Найдем (они существуют и единственны по теореме Крамера). Получим вектор – решение: е₁( ,1, 0, 0,…, 0).

2) Положим: x_r+1 =0, x_r+2 =1, x_r+3 = … = x_n = 0. Найдем . Получим:

е₂( ,0, 1, 0, …, 0).

3) Получим: .

4) Построенная система векторов линейно независима и образует базис в L.