Свойства определителей

 

6°. detA = detAT.

. ▶

Из этого свойства следует, что строки и столбцы в определителе равноправны. И все свойства для столбцов будут справедливы для строк и наоборот. Все последующие свойства сформулированы для столбцов матрицы, но * у слова столбец означает, что вместо этого слова можно написать слова строка.

7°. Если один из столбцов* определителя равен нулю, то определитель равен нулю.

◀ j(x1, …, θ , …, xn) = j(x1, …, 0×хk, …, xn) = 0×j(x1, x2, …, xn) = 0. ▶

8°. .

◀ j(x1, x2, …, x + xk, …, xn) = j(x1, x2, …, x, …, xn) + j(x1, x2, …, xk, …, xn). ▶

9°. Общий множитель в столбце * определителя можно выносить за знак определителя.

◀ j(x1, x2, …, axk, …, xn) = aj(x1, x2, …, xk, …, xn). ▶

10°. Если в определителе поменять два столбца * местами определитель поменяет знак.

◀ j(x1, …, xe,…, xm, …, xn) = – j(x1, …, xm, …, xe, …, xn). ▶

11°. Определитель, имеющий два равных столбца * равен нулю.

◀ Действительно, если поменять местами два столбца, то detA не изменится, ибо они одинаковы, а с другой стороны detA поменяет знак из-за антисимметричности. Следовательно, detA = 0. ▶

12°. Если столбцы* матрицы линейно зависимы, то detA = 0.

◀ Пусть х1 = . Тогда j(x1, x2, …, xn) =

= = 0. ▶

Если в матрице Am´n зафиксировать к строк и к столбцов (k ≤ min(m, n)), то определитель k-порядка матрицы из элементов Am´n, стоящих в выбранных строках и столбцах называются минором k-порядка.

Если у detA порядка n, вычеркнуть i-ю строку и j-й столбец, то оставшиеся элементы образуют матрицу (n – 1) порядка. Ее определитель – минор (n – 1)го порядка и обозначается Mij, а величина Aij = (–1)i+jMij называется алгебраическим дополнением к элементу аij.

13°. .

=

I. ;

II.

;

….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

n.

.

Следовательно: detA= … = a11A11 + a21A22 + … + an1An1. ▶

 

Это все можно проделать не только для первого столбца, а и для 2го, 3го, … , nго столбцов и аналогично для строк.

14°. .

.

15°. Определитель матрицы не изменится, если к столбцу * добавить линейную комбинацию других столбцов *.

◀ j(x1 + a2x2 + … + anxn, x2, … , xn) = j(x1, x2, …, xn) + a1j(x2, …, xn) + a3(x3, x2, …, xn) +

+ an(xn, x2,…, xn) = j(x1,x2,…,xn ) . ▶

16°. При умножении матрицы на a, ее определитель умножается на an :det(Aa) = an detA.

◀ j(ax1, ax2 , … , axn) = a×a … aj(x1, x2, …, xn) = anj(x1, x2, …, xn). ▶

17°. Определитель произведения двух матриц произведению определителей сомножителей detA×B = detC = detA ×detB. (C = A×B Û сij = ).

◀ detC = = =

=

. ▶

 








Дата добавления: 2015-05-05; просмотров: 783;


Поиск по сайту:

При помощи поиска вы сможете найти нужную вам информацию.

Поделитесь с друзьями:

Если вам перенёс пользу информационный материал, или помог в учебе – поделитесь этим сайтом с друзьями и знакомыми.
helpiks.org - Хелпикс.Орг - 2014-2024 год. Материал сайта представляется для ознакомительного и учебного использования. | Поддержка
Генерация страницы за: 0.011 сек.