Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
• Проектируемая технология должна удовлетворять требованиям системности, структурированности, воспроизводимости, планируемой эффективности, оптимальности затрат.
• Любая образовательная технология получает практическую реализацию на конкретной теме, конкретном уроке,дидактическом модуле - основной технологической единице дидактического процесса.
• Каждый учитель, творя свою педагогическую деятельность, создает авторскую педагогическую технологию, заключающуюся в проектировании, создании и использовании последовательности дидактических модулей.
• Выбор технологии основывается на:
• технологическом подходе к проектированию деятельности школы, отдельного учителя;
• принципе модульного проектирования учебно-воспитательного процесса;
• принципе оптимально сбалансированного использования резервов традиционного обучения.
• Каждый учитель является обладателем большого поля «рассеянных» методических знаний, которые он осознает лишь частично; в процессе проектирования технологии происходит применение - «инвентаризация» этих «рассеянных» знаний.
• Эффективность проектируемой технологии, получение оптимального результата по всем параметрам решаемой задачи достигается экспериментально методом последовательных приближений - интераций.
Особенности содержания
Методическая технология (по В. М. Монахову) - это технология управления методическим (технологическим) содержанием процесса обучения, система наиболее целесообразного проектирования и конструирования учебного процесса.
Выбор и дальнейшее проектирование педагогической технологии могут быть представлены следующими этапами.
Первый этап - разработка пакета«Теоретическое обоснование новой технологии обучения", включающего:
• диагностическое целеполагание; анализ будущей деятельности учащихся; цель обучения, характер задач, особенности данной возрастной группы учащихся;
• выбор адекватной целям и условиям конкретной педагогической технологии, концепции конкретной технологии, гипотезы ее осуществления;
• определение содержания обучения в границах данной образовательной области, выделение модулей, учебных элементов, логическая схема их изучения (учебные планы и программы в модульном решении);
• вариант продукта учебного процесса в границах конкретной области развития. Второй этап - разработка пакета«Технологические процедуры в границах данного дидактического модуля". Исходя из того, что технология обучения - категория процессуальная, она включает в себя нормативно зафиксированные звенья, последовательность прохождения которых составляет логику технологии процесса обучения.
Дидактический модуль (ДМ) - это типовое программирование и проектирование этапов и элементов учебно-воспитательного процесса как совокупности временных отрезков, в структуру и функции которых закладываются:
• выбор оргформ, наиболее адекватных дидактическому процессу;
• актуализация знаний и умений, необходимых для учебной работы в данном ДМ, т. е. поисково-подготовительная работа и специфика ее организации;
• подготовка и фиксация готовности каждого ученика к освоению данного ДМ;
• подготовка и сбор материалов для формирования мотивационного компонента дидактического процесса и последующее его включение в содержание ДМ;
• четкое планирование и проектирование урока и системы уроков;
• познание нового через усвоение обучающих блоков учебной информации и самостоятельную учебно-познавательную деятельность;
• усвоение конкретного учебного материала, необходимого для достижения базисного уровня качества общеобразовательной подготовки (базисный уровень требует единого старта и единого финиша в рамках ДМ);
• проверка объема и степени нагрузки учащихся и гипотетический расчет необходимого учебного времени для данного ДМ;
• возможность существенного углубления и расширения учебного материала для отдельных учащихся (многоуровневая дифференциация учебного процесса);
• фиксация индивидуальных траекторий (треков) самостоятельного познания и освоения учебного материала каждым учащимся (объективность педагогической информации для управления учебным процессом).
Третий этап - разработка пакета"Методический инструментарий учителя для данного дидактического модуля". Методическому инструментарию учителя (его дидактическому и методическому насыщению, систематизации и обогащению, прикладной ориентации) отводится ведущая роль в проектировании и проведении учебно-воспитательного процесса.
Технология формирует у учителя представления об учебном процессе каклогической структуре. Структура представляется цепочкой уроков, которые разбиваются на группы по числу микроцелей. Каждая микроцель - это некая группа уроков, на которых, во-первых, должна быть достигнута микроцель, во-вторых, это программа развития мышления, памяти, речи, внимания, интереса и др.
Технологическая карта - своего рода паспорт проекта будущего учебного процесса в данном классе.
В технологической карте целостно и емко представлены главные параметры учебного процесса, обеспечивающие успех обучения: этоцелеполагание, диагностика, дозирование домашних заданий, логическая структура проекта, коррекция.
С овладения технологией конструирования технологической карты начинается новое педагогическое мышление учителя: четкость, структурность, ясность методического языка, появление обоснованной нормы в методике.
Технология предполагает формирование у учителя методического видения всего учебного процесса на учебный год.
Основной объект проектирования в технологии - этоучебная тема - дидактический модуль. Продолжительность темы в разных предметах: минимальное число уроков по теме - 6-8, максимальное - 22-24 урока. Именно в такой системе уроков наиболее рельефно проявляются закономерности управляемого учебного процесса.
Учитель приглашается к проектированию целей обучения, он становится соавтором проекта учебного процесса. В одной теме может быть от двух до пяти микроцелей. Учитель формирует микроцели в форме: «знать. . . », «уметь. . . », «понимать. . . », «иметь представление о. . . », «уметь давать характеристику. . . ». По каждой теме проект учебного процесса будет состоять изтехнологической карты и набораинформационных карт урока.
Третий этап включает также разработку структуры и содержания системы учебных заданий, нацеленных на эффективное решение образовательных задач и требований федерального стандарта, проектирования системы уроков, скоординированной с домашней учебной работой.
Четвертый этап - создание пакета«Критерии и методы замера результатов реализации технологического замысла в данном дидактическом модулем". Фактически содержание этого пакета переводит традиционные программные требования к знаниям и умениям учащихся по тому или иному разделу школьного курса на язык планируемых технологических результатов.
Для этого необходимо создание тестов для объективного контроля за качеством усвоения учащимися знаний и образцов деятельности, соответствующих целям и критериям оценки степени усвоения.
В технологиидиагностика - это установление факта достижения (недостижения) конкретной микроцели. Диагностика всегда проводится в письменном виде (не более 10 минут). Проверочная работа состоит из четырех заданий. Два первых - это уровень стандарта. Успешное выполнение двух заданий свидетельствует о соответствии знаний ученика государственным требованиям стандарта «удовлетворительно». Их обязаны делать все учащиеся. Третье задание - это уровень «хорошо», четвертое - «отлично». Учитель проектирует содержание диагностики, исходя из содержания микроцели: очень важно дифференцировать трудность и сложность заданий по указанным трем уровням.
Учащиеся, не прошедшиедиагностику, становятся участниками работы по коррекции.
Пятый этап - разработка пакета«Культура освоения новой технологии обучения». В состав этого технологического пакета обязательно входят блоки, описывающие три стадии освоения:
• инвентаризация всей проектно-педагогической документации;
• конструирование логической схемы дидактического модуля;
• описание методико-организационных условий достижения планируемых результатов обучения;
• апробация проекта на практике и проверка завершенности учебно-воспитательного процесса;
• итерационная коррекция выбранной технологии.
В качестве альтернативы достаточно жесткого алгоритма выбора и освоения педагогических технологий, описанного выше, отошлем читателя к рекомендациям И. П. Волкова по построению гибкого и многовариантного процесса обучения.
Наконец, разработка педагогической технологии на основе диагностичной методики целеобразования с применением математических методов оценки эффективности освещена в монографии В. П. Беспалько «Слагаемые педагогической технологии» (М. : Педагогика, 1989).
В заключение следует подчеркнуть, что педагогический коллектив учебного заведения по своему культурно-образовательному уровню и психологическому настрою должен быть готов к принятию авторской педагогической технологии.
Только та технология даст необходимый результат, которая одухотворена ее главным автором - Учителем.
Метод Рунге-Кутта четвертого порядка
В модифицированном методе Эйлера для получения второй производной d2u(xi)/dx2 используется конечно-разностная формула (6.52), включающая значения первой производной u'(x) и u'(xi+h) в начальной и конечной точках шага. Если подобным же образом вычислить третью производную, рассчитав предварительно вторую производную в двух точках шага, то можно с помощью (6.49) построить расчетную формулу метода третьего порядка точности. Для этого потребуется определить первую производную u'(x) в дополнительной промежуточной точке между xi и xi + h.
Аналогичные рассуждения позволяют вывести расчетные формулы методов более высоких порядков, обеспечивающих заметное снижение погрешности решения. Однако на практике их реализация требует существенного повышения объема вычислений с использованием дополнительных промежуточных точек на каждом шаге.
Существуют и другие способы построения численных методов с высоким порядком точности. Один из них, применяемый при построении группы методов Рунге-Кутта, заключается в аппроксимации решения дифференциального уравнения суммой
(6.54)
где An - коэффициенты разложения, kn - последовательность функций
(6.55)
, 0 < m < n <p - некоторые параметры.
Неизвестные параметры An, можно выбрать из условия
(6.56)
где функция 
показывает отклонение приближенного решения 
от точного 
. Увеличение параметра p в (6.54) позволяет сделать погрешность, связанную с заменой точного решения приближенным, как угодно малой.
Предположим, что p =1. Тогда, подставляя (6.54) в (6.56), из условия 
получим A1 = 1 и 
, откуда
что соответствует формуле Эйлера (6.51). Таким же образом можно получить формулы более высоких порядков точности, которые называют методами Рунге-Кутта.
Одним из наиболее известных является вариант метода Рунге-Кутта, соответствующий p = 4. Это метод четвертого порядка точности, для которого ошибка на шаге имеет порядок h5. Его расчетные формулы имеют следующий вид:
где
Рассмотренные выше метод Эйлера и его модификация по сути дела являются методами Рунге-Кутта первого и второго порядка соответственно. Несмотря на увеличение объема вычислений метод четвертого порядка имеет преимущество перед методами первого и второго порядков, так как он обеспечивает малую локальную ошибку. Это позволяет увеличивать шаг интегрирования h и, следовательно, сокращать время расчета.
Дата добавления: 2015-04-03; просмотров: 1617;