Дифференциальных уравнений

Переходные процессы в линейных электрических цепях описываются неоднородными линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. В настоящем пособии рассматриваются переходные процессы в цепях постоянного тока не выше второго порядка, поэтому остановимся лишь на основных положениях теории уравнений первого и второго порядка применительно к решаемым задачам.

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

y′+qy=F₁, (6.2)

где y − искомая функция, зависящая от времени; q − постоянный коэффициент; F₁ − некоторая функция от времени.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

y′′+py′+qy=F₂, (6.3)

где y − искомая функция, зависящая от времени; p,q − постоянные коэффициенты; F₂ − некоторая функция от времени.

При расчете переходных процессов за искомую функцию принимают либо ток в индуктивности i_L(t), либо напряжение на емкости u_C(t), которые называют переменными состояния. Такое название обусловлено тем, что именно процессы в реактивных элементах определяют характер переходного процесса. Так как согласно законам коммутации ток в индуктивности и напряжение на емкости до и после момента коммутации не меняют своих значений, то это позволяет просто найти начальные условия при решении дифференциальных уравнений.

Для того, чтобы была понятна связь между дифференциальными уравнениями и переходными режимами в электрических цепях, примем в качестве искомой функции ток в индуктивности i_L(t). Тогда уравнения (6.2) и (6.3) примут вид

i_L′(t)+qi_L(t)=F₁; (6.4)

i′′_L (t)+pi_L′(t)+qi_L(t) =F₂. (6.5)

Функции F₁ и F₂ для линейных цепей постоянного тока представляют собой постоянные, определяемые параметрами источников энергии и структурой цепи.

Известно, что решением каждого из уравнений (6.4) и (6.5) является сумма двух составляющих:

i_L(t)= i_общ(t)+ i_ч, (6.6)

где i_общ(t) − общее решение однородного уравнения_., которое получается из уравнений (6.4) и (6.5) при F₁=0 и F₂=0; i_ч − частное решение уравнений (6.4) и (6.5).

Рассмотрим порядок решения уравнений.

1. Решение дифференциального уравнения первого порядка (6.4).

Соответствующее однородное уравнение имеет вид:

i_L′(t)+qi_L(t)=0. (6.7)

Из теории дифференциальных уравнений известно, что общее решение i_общ(t) линейного однородного уравнения первого порядка ищется в виде показательной функции:

i_общ(t)=Ce^kt,

где C − произвольная постоянная; k − корень характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение получается из уравнения (6.7) заменой операции дифференцирования умножением на характеристическое число k:

k i_L (t)+qi_L(t) =0.

Сокращая на i_L(t), получим стандартный вид характеристического уравнения

k + q = 0.

Корень полученного уравнения k = − q. Тогда общее решение запишется в виде:

i_общ(t)=Ce^−qt . (6.8)

Частным решением i_ч является любое конкретное значение переменной i(t), которое при подстановке в исходное уравнение (6.4) дает тождество.

Применительно к переходным процессам в электрических цепях в качестве частного решения принимают установившееся значение рассматриваемой переменной, в данном случае − ток I_Lуст в индуктивности. Действительно, математическим условием достижения установившегося режима является требование t→∞. Поскольку выражение (6.6) дает величину тока в любой момент времени после коммутации, в том числе и в установившемся режиме, то, подставляя (6.8) в (6.6) и полагая t→∞, получим:

В цепях постоянного тока установившееся значение тока − величина постоянная, поэтому из уравнения (6.4) следует очевидное равенство:

Таким образом, решением уравнения первого порядка будет выражение

i_L(t)=Ce^−qt+I_Lуст. (6.9)

Осталось найти постоянную С. Она находится из начального условия, т.е. по значению переменной i_L(t) (тока в индуктивности) при t= t₊₀=0. Полагая известным начальное значение тока i_L(t₊₀)= i_L+0, и подставляя его в выражение (6.9), получим

i_L+0=Ce^−q0+ I_Lуст=C+ I_Lуст ,

откуда находим C= i_L+0− I_Lуст.

Уравнение решено.

2. Решение дифференциального уравнения (6.5) второго порядка.

Соответствующее однородное уравнение имеет вид

i′′_L(t)+pi_L′(t)+qi_L(t)=0. (6.10)

Характеристическое уравнение:

k²+pk+q=0.

Как известно, данное квадратное уравнение имеет два корня:

В зависимости от знака подкоренного выражения возможны три варианта:

− оба корня вещественные и разные: k₁≠ k₂ , если

− корни вещественные и одинаковые: k₁=k₂ , если

− корни комплексные сопряженные: k_1,2=α ± jω₀ , где

Соответствующие выражения для общих решений уравнения (6.10) приведены в табл. 6.1.

Общие решения уравнения второго порядка Таблица 6.1

Вид корней	Вид общего решения
Вещественные и разные k1≠ k2
Вещественные и одинаковые k1=k2=k
Комплексные сопряженные k1,2=α ± jω0

Решением уравнения (6.5) является сумма общего и частного решений:

i_L(t)= i_общ(t)+ i_ч. (6.11)

Общее решение берется из табл. 6.1 в соответствии с видом корней характеристического уравнения. Частное решение i_ч представляет собой установившееся значение тока в индуктивности: i_ч= I_Lуст.

Для определения произвольных постоянных C₁ и C₂ необходимо знать начальные значения тока i_L(t₊₀)= i_L+0 и его производной i′_L(t₊₀)= i′_L+0 . Их определение рассмотрим дальше на примере решения конкретных задач, а сейчас полагаем их известными. Тогда для определения произвольных постоянных C₁ и C₂ следует составить два уравнения для момента времени t= t₊₀=0. Составим их для случая вещественных и разных корней k₁≠ k₂.

В уравнение (6.11) подставим соответствующее выражение для общего решения и установившееся значение I_Lуст тока и положим t= t₊₀=0. В результате получим:

Продифференцируем уравнение (6.11) с учетом вида общего решения:

и положим t= t₊₀=0. Тогда

Решаем систему из полученных уравнений:

откуда найдем постоянные C₁ и C₂.

Окончательно решение уравнения (6.5) запишется в виде:

Так как установившееся значение тока − величина постоянная, то из уравнения (6.5) следует очевидное равенство:

Уравнение решено.

Для двух других видов корней характеристического уравнения произвольные постоянные находятся аналогично.

Таким образом, решение неоднородного дифференциального уравнения сводится к решению характеристического уравнения и нахождению произвольных постоянных по начальным условиям с учетом параметров установившегося режима после коммутации.