В цепях первого порядка

Рассмотрим расчет переходного процесса в цепях с индуктивностью и с емкостью.

1. Цепь, содержащая элементы R,L

Расчетная схема приведена на рис. 6.5. Коммутация происходит замыканием ключа К.

Рис. 6.5. Расчетная схема с R,L элементами

Составляем уравнение по ЗНК для цепи после коммутации (ключ К замкнут) в соответствии с принятыми положительными направлениями тока и падений напряжения:

u_L(t) + u_R(t) = E.

Переменным состояния, которое определяет поведение цепи в переходном процессе, является ток в индуктивности. Относительно него и запишем уравнение.

Выражая падения напряжения u_L(t) и u_R(t) через ток i_L(t) в цепи, получим дифференциальное уравнение первого порядка

(6.17)

Характеристическое уравнение имеет вид:

Величина L/R имеет размерность времени (с), называется постоянной времени и обозначается через τ.

Находим корень характеристического уравнения:

В соответствии с (6.9) решением уравнения (6.17) будет

Согласно табл. 6.2 установившееся и начальное значения тока в индуктивности: I_Lуст= E/R, i_L+0 = 0.

Для момента времени t= t₊₀=0 можно записать:

откуда находим произвольную постоянную С:

С= i_L+0− I_Lуст=− I_Lуст= −E/R.

Соответственно решение уравнения (6.17) :

(6.18)

Проанализируем полученный результат.

Первое слагаемое в (6.18) представляет собой общее решение i_общ(t) исходного дифференциального уравнения. При t→∞ оно стремится к нулю. Это значит, что оно характеризует переходный режим, затухающий с течением времени.

В теории переходных процессов общее решение уравнения, описывающего переходный процесс, называют свободной составляющей и обозначают i_Lсв(t). Физически стремление к нулю свободной составляющей обусловлено наличием в цепи активного сопротивления, в котором имеют место необратимые потери энергии. Таким образом, с учетом принятых обозначений решение уравнения (6.17) имеет вид:

(6.19)

Именно в таких обозначениях будем искать решение и в дальнейшем.

Теперь выясним физический смысл постоянной времени τ.

Рассмотрим интервал ∆t=τ и найдем, как изменяется свободная составляющая i_Lсв(t) за данный промежуток времени. Для этого найдем отношение i_Lсв(t+τ)/ i_Lсв(t):

Полученный результат означает, что за интервал времени, равный постоянной времени цепи, свободная составляющая уменьшается в e раз.

С использованием (6.19) найдем, как изменяется напряжение на индуктивности в переходном процессе:

(6.20)

На рис. 6.6 приведены кривые изменения тока (а) и напряжения (б) на индуктивности в переходном режиме, построенные по выражениям (6.19) и (6.20).

а) б)

Рис. 6.6. Кривые тока (а) и напряжения (б) на индуктивности

в переходном процессе

Кривая тока i_L(t) является результатом от сложения кривых свободной составляющей i_Lсв(t) и установившегося режима I_Lуст. Как видно из графиков, ток i_L(t) в индуктивности изменяется от значения, которое он имел до коммутации, а напряжение u_L(t) в момент коммутации претерпевает скачок.

Отметим без доказательства, что проведенная в любой точке кривой переходного процесса касательная дает значение подкасательной, равное постоянной времени τ цепи. Данный факт позволяет по величине τ оценить время переходного процесса. Строго говоря, переходный процесс заканчивается в бесконечности. Но можно считать, что установившийся режим наступает в течение времени, равного (4...5)τ. Таким образом, если постоянная времени может быть определена без расчета переходного режима, то можно оценить время переходного процесса, зная параметры цепи.

Рассмотрим переходный процесс в той же цепи, но при отключении ее от источника. Расчетная схема приведена на рис. 6.7.

Рис. 6.7. Расчетная схема цепи

Ключ К отключает цепь от источника и замыкает ее накоротко перемычкой. До коммутации направление тока i_L(t) в цепи обозначено стрелкой. В момент коммутации согласно закону коммутации ток ни по величине, ни по направлению не изменился. Составим уравнения по ЗНК для цепи после коммутации и решим его.

u_L(t) + u_R(t) = 0.

Выражая падения напряжения u_L(t) и u_R(t) через ток i_L(t) в цепи, получим дифференциальное уравнение первого порядка

(6.21)

Характеристическое уравнение имеет вид:

Находим корень характеристического уравнения:

где τ=L/R − постоянная времени цепи.

В соответствии с (6.9) решением уравнения (6.21) будет

Согласно табл. 6.2 установившееся и начальное значения тока в индуктивности: I_Lуст= 0, i_L+0 = E/R.

Для момента времени t= t₊₀=0 можно записать:

откуда находим произвольную постоянную С:

С= i_L+0− I_Lуст= i_L+0 = E/R.

Соответственно решение уравнения (6.17) :

(6.22)

Напряжение на индуктивности в переходном процессе:

(6.23)

На рис. 6.8 приведены кривые изменения тока (а) и напряжения (б) на индуктивности в переходном режиме, построенные по выражениям (6.22) и (6.23).

а) б)

Рис. 6.8. Кривые тока (а) и напряжения (б) на индуктивности

в переходном процессе

Напряжение на индуктивности по величине в момент коммутации скачкообразно изменяется от нуля до E, а затем по экспоненциальному закону уменьшается до нуля.

Поскольку за время, равное постоянной времени, ток и напряжение уменьшаются в e раз, то по кривой переходного процесса, например, тока можно легко найти величину постоянной времени. Действительно, для t=τ значение ординаты i_τ кривой тока будет равно i_τ= i_L+0 /e=0,37i_L+0.

Данное соотношение целесообразно использовать для нахождения постоянной времени по экспериментальным кривым переходных процессов в цепях первого порядка.

2. Цепь, содержащая элементы R,С

Расчетная схема приведена на рис. 6.9. Коммутация происходит замыканием ключа К.

Рис. 6.9. Расчетная схема с R,С элементами

Составляем уравнение по ЗНК для цепи после коммутации (ключ К замкнут) в соответствии с принятыми положительными направлениями тока i_С(t) и падений напряжения на емкости u_С(t) и на активном сопротивлении u_R(t) :

u_С(t) + u_R(t) = E.

Переменным состояния, которое определяет поведение цепи в переходном процессе, является напряжение на емкости u_С(t). Относительно него и запишем уравнение, полагая

(6.24)

Характеристическое уравнение имеет вид:

где τ=RC − постоянная времени цепи, имеющая размерность времени (с).

Находим корень характеристического уравнения:

В соответствии с (6.9) решением уравнения (6.24) будет

где U_Cуст − установившееся значение напряжения на емкости после коммутации.

Согласно табл. 6.2 установившееся и начальное значения напряжения на индуктивности: U_Cуст= E, u_С+0 = 0.

Для момента времени t= t₊₀=0 можно записать:

откуда находим произвольную постоянную С:

С= u_C+0− U_Cуст=− U_Cуст= E.

Соответственно решение уравнения (6.24) :

(6.25)

Ток в емкости в переходном процессе:

(6.26)

На рис. 6.10 приведены кривые изменения напряжения (а) и тока (б) в емкости в переходном режиме, построенные по выражениям (6.24) и (6.25).

а) б)

Рис. 6.10. Кривые напряжения (а) и тока (б) в емкости

в переходном процессе

Кривая напряжения u_С(t) является результатом от сложения кривых свободной составляющей u_Cсв(t) и установившегося режима U_Cуст. Как видно из графиков, напряжение u_С(t) в емкости изменяется от значения, которое оно имело до коммутации, а ток i_C(t) в момент коммутации претерпевает скачок.

Рассмотрим переходный процесс в той же цепи, но при отключении ее от источника. Расчетная схема приведена на рис. 6.11.

Ключ К отключает цепь от источника и замыкает ее накоротко перемычкой.

Рис. 6.11. Расчетная схема цепи

До коммутации направление напряжения u_С(t) в цепи обозначено стрелкой. В момент коммутации согласно закону коммутации напряжение ни по величине, ни по направлению не изменилось. Примем направление падения напряжения u_R(t) на активном сопротивлении, как на рис. 6.11, и составим уравнение ЗНК:

u_С(t) + u_R(t) = 0.

Студентам предлагается самостоятельно решить данное уравнение и построить соответствующие графики. Запишем лишь окончательное решение:

Ток в емкости в переходном процессе

Знак минус в выражении для тока в емкости означает, что направление его противоположно принятому положительному направлению напряжений на рис. 6.11, т.е. физически происходит процесс разряда емкости.