И установившегося режима
В предыдущем разделе показано, что для расчета переходного процесса следует решить дифференциальное уравнение, для чего необходимо знать начальные условия и установившееся значение искомой величины. Поскольку переменными состояния, относительно которых составляются уравнения, являются ток в индуктивности iL(t) и напряжение на емкости uC(t), то нахождение начальных и установившихся их значений связано с расчетом электрической цепи известными методами в установившихся режимах до и после коммутации. Действительно, согласно законам коммутации переменные состояния в момент t+0 сохраняют свои значения, которые они имели в момент t−0, т.е. значения, которые соответствуют установившемуся режиму до коммутации.
Рассмотрим простейшие цепи первого и второго порядка и проведем расчет начальных и установившихся значений переменных состояния.
1. Цепи первого порядка
На рис. 6.1 представлены цепи первого порядка, содержащие активное сопротивление R, индуктивность L (а) и емкость С (б). Ключ К имеет два положения: 1 − цепь подключена к источнику E, и 2 − цепь отключена от источника и замкнута накоротко перемычкой. Процесс коммутации заключается в переключении ключа К из одного положения в другое. Напомним, что переключение ключа происходит мгновенно, и никаких процессов дугообразования не происходит.
а)
б)
Рис. 6.1. Цепи первого порядка: а) активно-индуктивная цепь;
б) активно-емкостная цепь
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 2 в положение 1.
До коммутации цепи замкнуты накоротко. Очевидно, что токи в цепях отсутствуют, и напряжения на всех элементах цепей равны нулю. Поэтому начальные значения тока iL+0 в индуктивности и напряжения uC+0 на емкости (независимые начальные условия) равны нулю: iL+0= iL−0 =0 и uC+0= uC−0 =0.
При переключении К в положение 1 в цепях начинается переходный процесс, заканчивающийся установившимся режимом, который может быть рассчитан любым известным методом расчета цепей постоянного тока. В данном случае цепи одноконтурные, и для них уравнения ЗНК в установившемся режиме имеют вид:
− цепь рис. 6.1,а: ILR=E, (6.12)
т.к. напряжение на индуктивности в установившемся режиме равно нулю;
− цепь рис. 6.1,б: UC=E, (6.13)
т.к. ток в цепи с емкостью в установившемся режиме равен нулю.
Соответственно установившиеся значения переменных состояния из (6.12) и (6.13) равны:
ILуст=IL=E/R; UCуст= UC=E.
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 1 в положение 2.
До коммутации цепи замкнуты на источник. Поэтому установившийся режим до коммутации описывается уравнениями (6.12) и (6.13). Тогда можно записать для независимых начальных условий:
iL+0= iL−0= IL=E/R; uC+0= uC−0 = UC=E.
После переключения К в положение 2 начинается переходный процесс, который заканчивается установившимся режимом. Так как после коммутации цепи оказались замкнутыми накоротко, то очевидно, что установившиеся значения тока в индуктивности и напряжения на емкости равны нулю:
ILуст= 0; UCуст= 0.
Для наглядности сведем полученные результаты расчетов в табл. 6.2.
Начальные условия и параметры установившихся режимов Таблица 6.2
Схема | Коммутация ключа К | Независимые начальные условия | Установившийся режим |
Рис.6.1,а | 2→1 | iL+0 = 0 | ILуст= E/R |
1→2 | iL+0= E/R | ILуст= 0 | |
Рис.6.1,б | 2→1 | uC+0= 0 | UCуст= E |
1→2 | uC+0= E | UCуст= 0 |
2. Цепи второго порядка
На рис. 6.2 представлена цепь второго порядка, содержащая активное сопротивление R, индуктивность L и емкость С. Ключ К имеет два положения: 1 − цепь подключена к источнику E, и 2 − цепь отключена от источника и замкнута накоротко перемычкой. Процесс коммутации заключается в переключении ключа К из одного положения в другое.
Рис. 6.2. Цепь второго порядка
Данная цепь описывается дифференциальным уравнением второго порядка. Поэтому для определения произвольных постоянных необходимо знание начальных значений переменных состояния и их производных.
Ток и напряжение в индуктивности и емкости связаны соотношениями:
, (6.14)
поэтому начальные значения производных можно найти из (6.14) через напряжение uL+0 на индуктивности и ток iC+0 в емкости в момент времени t=t+0 . Эти напряжения и ток называют зависимыми начальными условиями, поскольку они зависят от характера коммутации и, как правило, не равны таковым до коммутации.
Поэтому при определении начальных условий в цепи второго порядка будем определять как независимые, так и зависимые начальные условия.
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 2 в положение 1.
До коммутации (переключатель К в положении 2) цепь замкнута накоротко перемычкой. Поэтому ток и напряжения на всех элементах цепи равны нулю. Соответственно, независимые начальные условия
iL+0= iL−0 =0 и uC+0= uC−0 =0. (6.15)
Для расчета зависимых начальных условий необходимо рассмотреть цепь после коммутации в момент времени t=t+0 (рис. 6.3). На схеме обозначены мгновенные значения токов и напряжений на элементах в данный момент времени. Поскольку рассматриваются мгновенные значения тока и напряжений, то они обозначены прописными буквами.
Рис. 6.3. Цепь после коммутации
Уравнения ЗНК для цепи имеют вид:
uR+0+ uL+0+ uC+0= E. (6.16)
В соответствии с (6.15) ток в цепи после коммутации i+0= iL+0= 0, поэтому падение напряжения на активном сопротивлении uR+0= 0. Кроме того, uC+0= 0.
Тогда из уравнения (6.16) найдем:
uL+0= E .
Физически это означает, что в момент коммутации в соответствии с законом электромагнитной индукции в индуктивности возникает напряжение самоиндукции (см. раздел 4.1.1 настоящего пособия).
Соответственно, зависимые начальные условия:
uL+0= E , iС+0= 0.
В установившемся режиме после коммутации ток в цепи не течет, поскольку в цепи имеется емкость, поэтому падения напряжения на активном сопротивлении и индуктивности равны нулю, а напряжение на емкости равно ЭДС Е. Тогда в установившемся режиме имеем:
ILуст= 0; UCуст= Е.
Рассмотрим коммутацию при переключении К из положения 1 в положение 2.
До коммутации (переключатель К в положении 1) цепь подключена к источнику E. В установившемся режиме ток через емкость не течет, поэтому до коммутации падения напряжения на активном сопротивлении и на индуктивности равны нулю, а напряжение на емкости равно ЭДС E. Тогда независимые начальные условия примут вид:
uС+0= E , iL+0= 0.
Для расчета зависимых начальных условий рассмотрим цепь после коммутации в момент времени t=t+0 (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Цепь после коммутации
В момент коммутации емкость была заряжена до величины ЭДС Е. При замыкании ключа К емкость начнет разряд, а в индуктивности в соответствии с законом электромагнитной индукции возникнет напряжение uL+0. Найдем его.
По закону коммутации ток в цепи в момент времени t=t+0 равен нулю, поэтому напряжение на активном сопротивлении и ток через емкость также равны нулю. С учетом сказанного и в соответствии с ЗНК находим:
uL+0− uС+0= 0, или uL+0 = uС+0 = Е .
Соответственно, зависимые начальные условия для данной схемы с учетом принятых положительных направлений запишутся в виде:
uL+0= Е, iС+0= 0.
В установившемся режиме после коммутации в схеме рис. 6.4 емкость полностью разряжена, тока в цепи нет, и падения напряжения на элементах цепи равны нулю. Поэтому установившиеся значения переменных состояния после коммутации равны нулю:
ILуст= 0; UCуст= 0.
Для наглядности сведем полученные результаты расчетов в табл. 6.3.
Начальные условия и параметры установившихся режимов Таблица 6.3
Коммутация ключа К | Независимые начальные условия | Зависимые начальные условия | Установившийся режим |
2→1 | iL+0 = 0, uC+0 = 0 | uL+0= E , iС+0= 0 | ILуст= 0; UCуст= Е |
1→2 | iL+0 = 0, uС+0,= E | uL+0= Е, iС+0= 0 | ILуст= 0; UCуст= 0 |
Дата добавления: 2015-02-16; просмотров: 1405;