Каноническая форма уравнений состояния одномерной системы
Для получения уравнений состояния одномерной системы в канонической форме используется передаточная функция системы. Будем полагать, что система описывается дифференциальным уравнением (8.16), которому соответствует передаточная функция .
Пусть характеристическое уравнение системы имеет n различных корней , тогда передаточную функцию можно представить в виде
. (8.22)
Очевидно, что в этом случае .
Обозначим , тогда
,
.
Перейдем в операторных соотношениях к оригиналам, полагая . Получим
,
,
.
Вводя вектор состояния , запишем полученные уравнения в виде уравнений состояния
. (8.23)
Итак, получили уравнения состояния в канонической форме с диагональной матрицей коэффициентов, где в общем случае элементы ,
матриц могут быть и комплексными величинами.
Из (8.22) можно получить другую каноническую форму уравнений состояния. Если обозначить , то проводя аналогичные рассуждения, получим уравнения состояния:
,
. (8.24)
Рассмотрим теперь случай кратных корней. Пусть характеристическое уравнение имеет корни кратности k, а остальные корни
простые.
Тогда передаточную функцию можно представить в виде разложения
,
где ,
.
в этом случае или
.
Между изображениями существует связь
. Полагая
и переходя к оригиналам, получим в области оригиналов:
;
;
;
.
Вводя вектор состояния , полученные соотношения запишем в векторно-матричной форме:
|

Уравнения состояния (8.25) имеют каноническую форму, основная матрица – форму Жордана. Корню кратности k соответствует клетка Жордана размерностью . Очевидно, при наличии нескольких кратных корней будем получать соответствующие клетки Жордана для каждого корня.
Пример 8.6. Обратимся к системе управления из примера 8.5 и найдем уравнения состояния в канонической форме для разомкнутой системы. Характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет три различных корня:
,
,
. Используя выражение
, находим величины
:
,
,
. Таким образом, уравнения состояния в канонической форме для разомкнутой системы имеют вид
,
.
С учетом уравнения замыкания нетрудно получить следующие уравнения состояния замкнутой системы:
,
(8.26)
Сравнивая (8.21) и (8.26), видим, что одна и та же система описывается разными уравнениями состояния, которые эквивалентны между собой.
Дата добавления: 2015-02-07; просмотров: 1263;