Переходная матрица состояния
Пусть линейная САУ описывается уравнениями состояния:
,
,
,
,
. (8.27)
Рассмотрим матричный ряд, который обозначим через :
, (8.28)
где Е – единичная матрица.
Доказано, что этот ряд абсолютно сходится при любом t к некоторой матрице, обозначенной нами через
(экспоненциал матрицы).
Свойства ряда (8.28):
1. При матрица
.
2.
, или в более общем виде
.
3. , где
– обратная матрица.
4. Если , то
.
Рассмотрим однородное уравнение
, (8.29)
соответствующее неоднородному дифференциальному уравнению , и зададим начальное состояние вектора х(0) при t = 0.
Общее решение однородного уравнения (8.29) задается выражением
. (8.30)
Действительно, подставляя (8.30) в (8.29), с учетом свойства 2 получим тождество, справедливое при любом начальном значении х(0). Это значит, что (8.30) определяет общее решение уравнения (8.29).
Введем обозначение . Матрицу
размерностью
будем называть переходной матрицей состояния (в математике ей соответствует фундаментальная матрица), а выражение (8.30) в этом случае будем записывать в виде
. (8.31)
Выражение (8.31) можно трактовать как линейное преобразование (переход) начального значения вектора состояния х(0) в текущее значение x(t) в пространстве состояний.
Свойства переходной матрицы состояния:
1. .
2. .
3. .
Эти свойства следуют из общих свойств экспоненциала матрицы.
Если известна переходная матрица состояния, то общее решение неоднородного уравнения записывается в виде (формула Коши)
. (8.32)
В силу получим выражение для вычисления вектора выхода y(t):
. (8.33)
В (8.32), (8.33) первое слагаемое определяет свободную составляющую, обусловленную ненулевым начальным состоянием х(0), а второе – вынужденную составляющую, обусловленную входным сигналом .
Выражение (8.28) редко употребляется для определения матрицы , так как в случае произвольной матрицы А элементы матрицы
представляют собой ряды Тейлора при t = 0, пo которым трудно найти исходную функцию в замкнутой форме.
Переходную матрицу состояния обычно находят с помощью операционного исчисления. Применим к (8.29) преобразование Лапласа, тогда получим , где
. Из полученного выражения находим
,
, где
– обратная матрица к матрице
.
Переходя к оригиналам, имеем
. (8.34)
Сравнивая (8.34) с (8.31), приходим к выводу, что
. (8.35)
Каждый элемент матрицы есть дробно-рациональная функция переменной s. Знаменатель каждого элемента представляет собой полином n-й степени
, а числитель – полином не выше (n – 1)-й степени. Полином
называется характеристическим полиномом системы, а алгебраическое уравнение n-й степени
(8.36)
назовем характеристическим уравнением системы.
Применяя к каждому элементу матрицы обратное преобразование Лапласа, получим матрицу
, элементами которой будут некоторые функции времени.
Переходную матрицу состояний можно найти, используя модальную матрицу M. Пусть в уравнении (8.29) матрица А имеет различные собственные значения . Тогда в (8.29) сделаем замену переменных
, где М – модальная матрица. В результате получим:
.
Общее решение полученной системы с диагональной матрицей будет таково: . Так как
,
, то общее решение исходного уравнения (8.29) запишется в виде
.
Отсюда следует, что
. (8.37)
Пример 8.7. Рассмотрим однородное уравнение в нормальной форме:
.
Собственные числа матрицы А определяются из решения уравнения и будут
,
.
Ищем модальную матрицу М в виде (8.14):
,
.
Находим в соответствии с (8.37):
.
Можно найти , используя (8.35). Находим
и затем
.
,
.
Переходя от к оригиналам, найдем выражение для матрицы
, не отличающееся от полученного ранее.
Дата добавления: 2015-02-07; просмотров: 4465;