Нормальная форма уравнений состояния одномерной системы
Пусть динамика одномерной системы, имеющей один вход и один выход, описывается дифференциальным уравнением
, (8.16)
где ,
.
Требуется найти уравнения состояния (8.3) в нормальной форме, эквивалентные уравнению (8.16).
Задача легко решается для частного случая (8.16), если m = 0, т.е. правая часть (8.16) будет иметь вид . в (8.16) сделаем замену переменных
. Дифференцируя последовательно каждое равенство, получим
где последнее соотношение соответствует уравнению (8.16). Полученную систему с учетом запишем в виде уравнений состояния в нормальной форме:
,
, (8.17)
где, как обычно, .
Если в (8.16) m > 0, то также можно получить уравнения состояния в нормальной форме. Вывести их несколько сложнее, поэтому дадим конечный результат. Для удобства будем в (8.16) полагать m = n. Очевидно, если m < n, то ряд первых коэффициентов будет равен нулю. Уравнения состояния в этом случае будут иметь следующий вид:
,
. (8.18)
Коэффициенты определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений, записанных в векторно-матричной форме:
. (8.19)
Из (8.19) следует, что ,
,
,…, откуда последовательно находятся
,
,… .
Для физически реализуемых систем и
.
Пример 8.5. Рассмотрим замкнутую систему управления стандартной структуры (см. рис. 3.1), где будем полагать ,
,
,
,
с,
с,
с.
Передаточная функция разомкнутой системы будет равна
.
Найдем дифференциальное уравнение разомкнутой системы, связывающее y и e: .
Коэффициенты этого уравнения ,
,
,
,
,
,
.
Уравнение для определения имеет вид
,
откуда ,
,
,
.
Итак, уравнения состояния разомкнутой системы в нормальной форме имеют вид
,
. (8.20)
Для получения уравнений состояния замкнутой системы учтем уравнение замыкания , после подстановки которого в (8.20)
получим
,
. (8.21)
Уравнения состояния замкнутой системы (8.21) уже не являются уравнениями в нормальной форме.
Дата добавления: 2015-02-07; просмотров: 875;