Описание систем управления с помощью уравнений состояния

Рассматриваемые в предыдущих разделах системы относятся к простейшему (классическому) типу САУ, характеризуемому одной регулируемой координатой (одномерные системы). Динамические процессы в них удобно описывать одним дифференциальным уравнением n-го порядка, передаточными функциями и частотными характеристиками. При описании многомерных или многосвязных систем, имеющих несколько регулируемых координат, такой подход встречает определенные трудности. Более естественной формой математического описания многомерных систем является векторно-матричная форма уравнений динамики или подход, базирующийся на применении уравнений состояния.

Преимуществом математических моделей в виде уравнений состояния является универсальность (применимость как для одномерных, так и для многомерных систем), компактность формы записи, а также более естественная форма записи для численных расчетов на ЭВМ. В силу этого с конца 60-х годов ХХ столетия в теории управления развиваются методы описания и исследования САУ на базе уравнений состояния.

При математическом описании любой системы всегда можно выделить три группы величин: – входные сигналы, действующие на систему, включающие как управляющие, так и возмущающие сигналы; – выходные сигналы, несущие информацию о поведении системы, а также переменные , характеризующие непосредственно саму систему (переменные состояния). физический смысл переменных и достаточно ясен. Переменные состояния – это минимальный набор физических или абстрактных величин, который полностью определяет состояние системы в любой момент времени.

Объединим соответствующие группы переменных в векторы: – вектор входа системы, – вектор выхода системы (вектор наблюдения), – вектор состояния, , , – евклидовы пространства соответствующих размерностей. Пространство носит название пространства состояний.

Так как нас интересует поведение системы во времени, т.е. динамика системы, то все соответствующие переменные и векторы будем полагать в дальнейшем функциями текущего времени t, т.е. , , .

Под математической моделью системы будем понимать соотношения между векторами , , , описываемые при помощи математических операций и позволяющие однозначно определять закон изменения во времени
вектора выхода при заданном векторе входа и начальном состоянии
системы x.

В случае непрерывных систем наиболее общей формой математической модели являются уравнения вида

, , (8.1)

где , ,
– вектор-функции соответствующих размерностей; , – скалярные функции.

Уравнения (8.1) носят названия уравнений состояния, первое из которых будем называть уравнением входа, а второе – уравнением выхода.

Уравнения (8.1) описывают динамику нелинейной нестационарной непрерывной системы с сосредоточенными параметрами. Если , в явном виде не зависят от времени t, то имеем соответствующую модель стационарной системы.

Если в некоторой области изменения переменных функции , являются линейными, то уравнения (8.1) превращаются в линейные уравнения состояния

, , (8.2)

где А, В, C, D – соответственно матрицы размерностей , , , .

Если коэффициенты всех матриц не зависят в явном виде от времени,
то имеем модель линейной стационарной системы. Если хотя бы один из
коэффициентов этих матриц в явном виде зависит от t, то модель будет
нестационарной.

Для физически реализуемых систем всегда D = 0 (здесь и далее равенство матрицы нулю подразумевает равенство нулевой матрице) и чаще всего рассматриваются уравнения состояния вида

, . (8.3)

Матрица А называется основной матрицей системы, В – матрицей входа,
С – матрицей выхода, D – матрицей связи.

В данном разделе будем рассматривать только линейные стационарные системы, описываемые уравнениями (8.2), (8.3).

Отметим ряд дополнительных моментов, касающихся приведенных моделей систем:

1. Для полного описания поведения системы всегда требуется задать ее начальное состояние в некоторый момент времени (чаще всего нулевой). Это соответствует заданию начальных условий для дифференциальных уравнений, входящих в (8.1)–(8.3). Итак, в (8.1)–(8.3) всегда подразумевается задание x(0).Чаще всего .

2. Элементы матриц А, В, С, D и векторов , , в общем случае могут быть комплексными величинами.

3. В (8.1)–(8.3) величины , могут быть скалярными, т.е. уравнения (8.1)–(8.3) могут описывать как многомерные, так и одномерные системы.

4. Уравнениями (8.1)–(8.3) могут быть описаны любые динамические системы: отдельные элементы и устройства, объект управления, регулятор, вся САУ в целом.

Пример 8.1. Рассмотрим САУ стандартной структуры, изображенной на рис. 3.1. Пусть , , , а выход звена (соответственно вход ) обозначим через u.