Обчислень переміщень методом Мора

Метод, викладений нижче, є універсальним методом визначення переміщень (як лінійних, так і кутових), що виникають у будь-якій стержневій системі від довільного навантаження.

Розглянемо два стани системи. Нехай у першому з них (вантажний стан) до балки прикладена будь-яке довільне навантаження, а в другому (одиничний стан) — зосереджена сила (мал.5.6).

Робота сили на переміщенні , що виникає від сил першого стану

.

Рис.5.6. Вантажний і одиничний стани

Використовуючи (5.14) і (5.15), виразимо (а, виходить, і ) через внутрішні силові фактори:

(5.17)

Знак “+”, отриманий при визначенні , означає, що напрямок шуканого переміщення збігається з напрямком одиничної сили. Якщо визначається лінійний зсув, то узагальнена одинична сила являє собою безрозмірну зосереджену одиничну силу, прикладену в розглянутій точці; а якщо визначається кут повороту перетину, то узагальнена одинична сила – це безрозмірний зосереджений одиничний момент.

Іноді (5.17) записується у виді

(5.18)

де — переміщення по напрямку сили , викликане дією групи сил . Добутки, що знаходяться у знаменнику формули (5.18), називаються відповідно жорсткостями при вигині, розтягуванні (стиску) і зрушенні; при постійних по довжині розмірах перетину й однаковому матеріалі ці величини можна виносити за знак інтегралу. Вирази (5.17) і (5.18) називаються інтегралами (або формулами) Мора.

Найбільш загальний вид інтеграл Мора має в тому випадку, коли в поперечних перерізах стержнів системи виникають усі шість внутрішніх силових факторів:

(5.19)

Алгоритм обчислення переміщення методом Мора полягає в наступному:

1. Визначають вираження внутрішніх зусиль від заданого навантаження як функцій координати довільного перетину.

2. По напрямку шуканого переміщення прикладається узагальнена одинична сила (зосереджена сила — при обчисленні лінійного переміщення; зосереджений момент — при обчисленні кута повороту).

3. Визначають вираз внутрішніх зусиль від узагальненої одиничної сили як функцій координати довільного перетину.

4. Підставляють вираз внутрішніх зусиль, знайдені в п.п.1,3 у (5.18) або (5.19) і інтегруванням по ділянках у межах усієї довжини конструкції визначають шукане переміщення.

Формули Мора придатні і для елементів, що представляють собою стержні малої кривизни, із заміною елемента довжини в підінтегральному виразі елементом дуги .

У більшості випадків плоскої задачі використовується тільки один член формули (5.18). Так, якщо розглядаються конструкції, що працюють переважно на вигин (балки, рами, а частково й арки), то у формулі переміщень з дотриманням достатньої точності можна залишити тільки інтеграл, що залежить від згинальних моментів; при розрахунку конструкцій, елементи яких працюють, в основному, на центральне розтягування (стиск), наприклад, ферм, можна не враховувати деформації вигину і зрушення, тобто в формулі переміщень залишиться тільки член, що містить повздовжні сили.

Аналогічно, у більшості випадків просторової задачі істотно спрощується формула Мора (5.19). Так, коли елементи системи працюють переважно на вигин і кручення (наприклад, при розрахунку плоско-просторових систем, ламаних стержнів і просторових рам) у (5.19) залишаються тільки перші три члени; а при розрахунку просторових ферм – тільки четвертий член.